Soluciones no separables de la ecuación de Schroedinger

Estoy estudiando la carrera de Mecánica Cuántica y tengo algunas dudas sobre la solución de la ecuación de Schroedinger por el método de separación de variables. Si suponemos que las soluciones tienen la forma

Ψ ( X , t ) = T ( t ) ψ ( X )
obtenemos dos ecuaciones, la primera da el factor de fase de evolución temporal T norte ( t ) = mi − i mi norte t / ℏ y el otro la "función de onda espacial" ψ norte ( X ) .

Entonces todas las soluciones separables tienen la forma

Ψ norte ( X , t ) = mi − i mi norte t / ℏ ψ norte ( X )
y estos representan los estados estacionarios.

Si sumamos estas soluciones podemos obtener incluso soluciones no separables

Ψ = ∑ C norte ψ norte T norte .

Pero no puedo encontrar ningún postulado o teorema que establezca que cada solución de la ecuación de Schroedinger se pueda expresar de esta forma.

¿Son todas las soluciones posibles de la ecuación expresables por la suma (infinita) de soluciones separables?

Si recuerdo correctamente los cursos de matemáticas, esto se puede expresar preguntando si los vectores propios del operador hamiltoniano son un conjunto completo (base) del espacio de Hilbert.

¿Y en el caso de espectro continuo?

Respuestas (2)

De hecho, esto solo es posible en algunas situaciones, por ejemplo, cuando el espectro continuo está ausente (también puede consistir en un solo punto, consulte el comentario de Valter Moretti a continuación). Una condición suficiente para que eso sea cierto es que el hamiltoniano sea compacto o tenga un resolvente compacto.

Lamentablemente, muy pocos hamiltonianos interesantes satisfacen esa propiedad (un ejemplo es el oscilador armónico). En general, la solución de la ecuación de Schrödinger existe para cualquier condición inicial ψ 0 ∈ H (el espacio de Hilbert), utilizando el grupo unitario fuertemente continuo de un parámetro mi − i t H asociado al hamiltoniano autoadjunto H por el teorema de Stone. La solución en cualquier momento t ∈ R entonces simplemente se escribe

ψ ( t ) = mi − i t H ψ 0 .
Tal solución es continua en el tiempo, y con respecto a los datos iniciales, pero es diferenciable en el tiempo solo si ψ 0 ∈ D ( H ) , dónde D ( H ) es el dominio del operador autoadjunto H . En el lenguaje del análisis de las EDP, eso significa que las ecuaciones de Schrödinger, para los hamiltonianos autoadjuntos, están globalmente bien planteadas en H .

Un comentario menor: si el hamiltoniano es compacto en realidad 0 puede ser un punto (el único) del espectro continuo, incluso si no produce ningún problema con la expansión con respecto a la base de Hilbert de vectores propios...
@ValterMoretti a qué te refieres con " 0 puede ser un punto"? Cero energía? O ψ = 0 ? ¿O algo mas?
Me refiero a energía cero, pero sin estado ligado correspondiente.
Gracias, con un poco más de indagación entiendo un poco más el tema. Sin embargo, dado que asisto a un curso introductorio y no tuve la oportunidad de estudiar a fondo el análisis funcional, ¿podría describir de manera sencilla cómo saber si el operador hamiltoniano de mi problema de física es compacto o no?
@skdys Lamentablemente, no conozco una forma sencilla de saber si un operador es compacto. Sin embargo, con toda probabilidad, el operador hamiltoniano de su problema será ilimitado (porque, en términos generales, hay un término pags ^ 2 en la energía cinética, y no está acotada). Ningún operador ilimitado es compacto; pero puede tener un resolvente compacto (como el oscilador armónico). Un buen candidato para tener un solvente compacto es tener un potencial de confinamiento (que, en términos generales, tiende a infinito cuando X → ∞ ); sin embargo, esta no es una regla estricta...

Esencialmente, la separación de variables en la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo equivale a diagonalizar el hamiltoniano. Uno puede ver esto fácilmente considerando el caso donde el espacio de Hilbert es de dimensión finita y el hamiltoniano es una matriz hermítica.

En el caso de un espectro parcialmente continuo se obtiene lo mismo, excepto que la suma debe ser reemplazada por una integral sobre un conjunto de etiquetas que resuelve el espectro completo. El espectro continuo está etiquetado por los momentos de los posibles estados de dispersión. La transformación al operador diagonalizado viene dada por el llamado operador de Moeller.

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