Transformadas de Fourier del espacio de posición y momento en Mecánica Cuántica

Question

Transformadas de Fourier del espacio de posición y momento en Mecánica Cuántica

Física
impulso
valor propio
convenciones
Transformada de Fourier
mecánica cuántica

elhombrecuantico

Transformaciones de Fourier:

ϕ (\vec{k}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}})}^{3} \int_{r espacio} ψ (\vec{r}) {mi}^{- i k \cdot r} d^{3} r

$\phi(\vec{k}) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)^3 \int_{r\text{ space}} \psi(\vec{r}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3r$

para el espacio de momento y

ψ (\vec{r}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}})}^{3} \int_{k espacio} ϕ (\vec{k}) {mi}^{i k \cdot r} d^{3} k

$\psi(\vec{r}) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)^3 \int_{k\text{ space}} \phi(\vec{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3k$

para el espacio de posición.

Cómo lo sabemos $\psi$ no es la transformada de Fourier de $\phi$ pero suponemos que es al revés ( $\psi$ sería proporcional a $\exp[-ikr]$ y $\phi$ sería proporcional a $\exp[ikr]$ )? Si no hubiera diferencia en los signos, no habría problema en la integración desde menos inf. a más inf. si la probabilidad es asimétrica alrededor de cero?
¿Cuál es la razón física por la que en la integral para espacio de cantidad de movimiento tenemos $\exp[-ikr]$ ? Estoy de acuerdo con el exponente del espacio de posiciones que se puede explicar de la siguiente manera: es la suma de todos los estados de momento definidos del sistema, pero ¿qué pasa con el Fourier del espacio de momento? ¿Cómo podemos explicar la integral (no matemáticamente)?

elhombrecuantico

Si alguien tiene un título mejor, no dude en sugerir uno.

por simetría

La forma en que coloque el signo menos no hace ninguna diferencia y es puramente una cuestión de convención. Todo lo que importa es que seas consistente en dónde lo pones.

elhombrecuantico

Pero cuando integras, ¿no habrá una diferencia si los límites de integración no son de menos infinito a más infinito?

por simetría

Si tiene un dominio asimétrico, entonces podría marcar la diferencia, pero normalmente tendrá diferentes estados propios de impulso en ese caso de todos modos para satisfacer sus condiciones de contorno. Incluso entonces, es más una cuestión de cómo etiqueta los estados que cualquier otra cosa.

elhombrecuantico

Pero, ¿no hay una manera correcta de hacerlo en lugar de simplemente decir elegir lo que quieras?

por simetría

No. Siempre que elija uno y se apegue a él, no hay una manera correcta o incorrecta. Todo lo que terminas haciendo es desviar un montón de signos menos que desaparecerán cada vez que calcules una cantidad observable.

elhombrecuantico

OK muchas gracias. si desea escribirlo como respuesta, lo marcaré como la respuesta aceptada.

marzo

No estoy seguro de su notación, por lo que podría ser que solo esté hablando de una función de onda arbitraria, pero quiero señalar que una función propia del operador de momento no es la transformada de Fourier de una función propia del operador de posición . .

elhombrecuantico

@march Lo diré de otra manera: ¿por qué en las relaciones de transformada de Fourier tenemos epx[ikr] en la integral para Ψ y por qué tenemos exp[-ikr] en la integral para Φ?

elhombrecuantico

He editado la pregunta.

jahan claes

Un comentario más: si estamos hablando de una sola función, la convención generalmente aceptada es usar

Ψ (r)

$\Psi(r)$ para la función en el espacio real, y

\tilde{Ψ} (k)

$\tilde{\Psi}(k)$ o incluso simplemente

Ψ (k)

$\Psi(k)$ para la función en el espacio k. Esto enfatiza el hecho de que son funciones relacionadas, y no solo dos funciones aleatorias.

Φ

$\Phi$ y

Ψ

$\Psi$ .

elhombrecuantico

He incluido lo que son Φ y Ψ en la pregunta.

jahan claes

@LandosAdam Entendí bien la pregunta y usé su notación en mi respuesta. Solo quería hacerle saber la notación correcta en el futuro.

Respuestas (3)

Transformadas de Fourier del espacio de posición y momento en Mecánica Cuántica

La forma en que coloque el signo menos no hace ninguna diferencia y es puramente una cuestión de convención. Todo lo que importa es que seas consistente en dónde lo pones.
Pero cuando integras, ¿no habrá una diferencia si los límites de integración no son de menos infinito a más infinito?
Si tiene un dominio asimétrico, entonces podría marcar la diferencia, pero normalmente tendrá diferentes estados propios de impulso en ese caso de todos modos para satisfacer sus condiciones de contorno. Incluso entonces, es más una cuestión de cómo etiqueta los estados que cualquier otra cosa.
Pero, ¿no hay una manera correcta de hacerlo en lugar de simplemente decir elegir lo que quieras?
No. Siempre que elija uno y se apegue a él, no hay una manera correcta o incorrecta. Todo lo que terminas haciendo es desviar un montón de signos menos que desaparecerán cada vez que calcules una cantidad observable.
OK muchas gracias. si desea escribirlo como respuesta, lo marcaré como la respuesta aceptada.
No estoy seguro de su notación, por lo que podría ser que solo esté hablando de una función de onda arbitraria, pero quiero señalar que una función propia del operador de momento no es la transformada de Fourier de una función propia del operador de posición . .
@march Lo diré de otra manera: ¿por qué en las relaciones de transformada de Fourier tenemos epx[ikr] en la integral para Ψ y por qué tenemos exp[-ikr] en la integral para Φ?
Un comentario más: si estamos hablando de una sola función, la convención generalmente aceptada es usar $\Psi(r)$ para la función en el espacio real, y $\tilde{\Psi}(k)$ o incluso simplemente $\Psi(k)$ para la función en el espacio k. Esto enfatiza el hecho de que son funciones relacionadas, y no solo dos funciones aleatorias. $\Phi$ y $\Psi$ .
@LandosAdam Entendí bien la pregunta y usé su notación en mi respuesta. Solo quería hacerle saber la notación correcta en el futuro.

jahan claes · Answer 1

jahan claes

Digamos $\Phi$ es una función delta, $\Phi(k)=\delta(k-k_0)$ . Presumiblemente, desea que este sea un estado propio del operador de cantidad de movimiento con cantidad de movimiento $\hbar k_0$ . Con la convención que ha elegido, podemos convertir esto en una función de onda del espacio real (estoy ignorando la normalización por conveniencia):

Ψ (r) = \int d k d (k - k_{0}) {mi}^{i k r} = {mi}^{i k_{0} r}

$\Psi(r)= \int dk \delta(k-k_0)e^{ikr}=e^{ik_0 r}$

Entonces podemos encontrar el impulso del estado aplicando el operador de impulso $-i\hbar \frac{\partial}{\partial r}$ y encontrar el valor propio. Vemos que este estado tiene impulso. $\hbar k_0$ , como se desee.

Si hubiera definido la transformada de Fourier con los signos cambiados, encontraría que el estado definido por $\Phi(k)=\delta(k-k_0)$ tendría impulso $-\hbar k_0$ , lo que sería un inconveniente. Es por eso que definimos la transformada de Fourier como arriba. Sin ninguna preferencia particular en cuanto a lo que queremos $\Phi(k)$ para representar, podríamos haber elegido cualquiera de los dos siempre que fuéramos consistentes.

elhombrecuantico

Si el dominio de integración fuera asimétrico, ¿no habría problema con la integral?

elhombrecuantico

Además, ¿qué pasa con la interpretación física de la integral de Φ? ¿Por qué es la suma de exp [-ikr]?

knzhou

Un estado con impulso

k

$k$ en el espacio de posición es

e^{i k \cdot r}

$e^{ik\cdot r}$ . Cuando estamos computando

Φ (k)

$\Phi(k)$ , queremos averiguar la cantidad de ese estado dentro de

ψ (r)

$\psi(r)$ . Esto se hace tomando el producto interno con ese estado, lo que suma una conjugación compleja.

jahan claes

@LandosAdam Si su dominio de integración r es asimétrico, eso no tiene efecto en su dominio de integración k. Y el dominio de k-integración siempre se puede hacer simétrico. ¿Puede dar un ejemplo en el que el rango de k fuera asimétrico?

jahan claes

@LandosAdam

Φ

$\Phi$ solo necesita ser definido con una integral sobre

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ para que la transformada inversa de Fourier sea una integral sobre

e^{i k r}

$e^{ikr}$ , por lo que expliqué que queríamos en mi respuesta anterior. Tenga en cuenta que no podríamos tener AMBOS integrados por

e^{i k r}

$e^{ikr}$ o AMBOS integrados por

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ , porque las transformadas de Fourier no funcionan de esa manera. Así que la elección del signo en la definición de

Φ

$\Phi$ está completamente determinado.

elhombrecuantico

@JahanClaes No conozco un ejemplo de eso. Pero SI tuviéramos uno de esos ejemplos, ¿no importaría en la integral si el exponente tiene un signo menos o más?

elhombrecuantico

@JahanClaes está usando una explicación matemática usando la definición de la transformada de Fourier, aunque necesito una explicación física como la explicación de la integral de Ψ que es la siguiente: "es la suma de todos los estados de momento definidos del sistema". Entonces, ¿cuál es la explicación análoga para la integral de Φ (con menos en el exponente)?

jahan claes

@LandosAdam, mi punto es que ese ejemplo NO EXISTE. Una transformada de Fourier tiene que integrarse sobre todos los modos de Fourier posibles. Ahora, puede ser cierto que ciertos modos sean irrelevantes (pueden ser todos cero, para una cierta función de onda), por lo que solo integramos en un rango finito de

k

$k$ s. En este caso, el rango de ks sobre el que integramos cambiará apropiadamente si cambiamos

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ con

e^{i k r}

$e^{ikr}$ . Entonces, en ese sentido, podría importar. Pero de nuevo, es solo una cuestión de barajar apropiadamente los signos menos

jahan claes

@LandosAdam Creo que lo entiendes un poco al revés.

Ψ (r) = \int d k Φ (k) e^{i k r}

$\Psi(r) = \int dk \Phi(k) e^{ikr}$ representa la suma de todos los estados de impulso del sistema.

Φ (k)

$\Phi(k)$ , la integral sobre

Ψ

$\Psi$ , representa la amplitud de un solo estado de impulso. si cuadras

Φ (k)

$\Phi(k)$ , obtienes la probabilidad de estar en ese estado de impulso. ¿Es eso una buena intuición física?

jahan claes

@LandosAdams Para expresar un poco mejor mi primera respuesta: si se está integrando

k

$k$ está entre

a

$a$ y

b

$b$ cuando usa una convención de signos, simplemente integrará sobre

k

$k$ está entre

- b

$-b$ y

- a

$-a$ en la otra convención de signos. Solo mezclando desventajas. Pero, en general, es mejor pensar en una transformada de Fourier como una integración de todos los modos de Fourier siempre, es solo que algunos modos resultan ser cero.

elhombrecuantico

@JahanClaes dijiste que la integral de Ψ "representa la suma de todos los estados de impulso del sistema". Entiendo esto porque exp[ikr] es un estado de impulso definido. ¿Qué pasa con la integral de Φ hasta exp[-ikr]? ¿Cómo podemos explicarla sin usar la explicación de la transformada de Fourier sino una explicación que use la suma de estados (integral) como explicación de la integral de Ψ?

jahan claes

@LandosAdam Has cambiado

Φ

$\Phi$ y

Ψ

$\Psi$ ¡de nuevo! la integral de

Φ

$\Phi$ representa la suma de todos los estados de impulso. la integral de

Ψ

$\Psi$ es como se obtiene

Φ

$\Phi$ .

jahan claes

@LandosAdam Quizás esta sea una mejor manera de pensarlo. Conocemos cualquier estado

| Ψ >

$|\Psi>$ se puede expandir en la base del estado de impulso como

| Ψ >= \sum_{k} Φ (k) | k >

$|\Psi>=\sum_k \Phi(k)|k>$ . Para encontrar un específico

Φ (k_{0})

$\Phi(k_0)$ , solo tomamos el producto interno

< k_{0} | Ψ >= \sum_{k} Φ (k) < k_{0} | k >= Φ (k_{0})

$<k_0|\Psi>=\sum_k \Phi(k)<k_0|k>=\Phi(k_0)$ . Este producto interior

< k_{0} | Ψ >

$<k_0|\Psi>$ es precisamente la integral que diste arriba para

Φ (k)

$\Phi(k)$ . Entonces, la integral es realmente solo una forma de proyectar vectores en ciertos componentes. No sé si hay mejor intuición que esa.

jahan claes

@LandosAdam No creo que haya una interpretación física tan "limpia" como esperas. El espacio de Fourier es un poco menos intuitivo que el espacio real.

Daniel · Answer 2

La identificación de una transformada como la transformada de Fourier y la otra como la transformada inversa es una cuestión de definición. La transformada de Fourier es anterior a la mecánica cuántica, por lo que el motivo de la asignación no tiene nada que ver con QM y todo que ver con la historia de las matemáticas.

En 1807, Fourier envió un manuscrito al Institut de France que contenía, entre otras cosas, lo que ahora llamamos la transformada del coseno de Fourier y su inversa. Estas son sus transformaciones:

F_{C} (tu) = \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} F (X) porque (tu X) d X

$F_c(u)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\cos(ux)dx$

F (X) = \int_{0}^{\infty} F_{C} (tu) porque (tu X) d tu .

$f(x)=\int_0^\infty F_c(u)\cos(ux)du.$

La generalización de Cauchy de 1827 de las relaciones de Fourier implicó funciones de valores complejos y una asimetría de signo ineludible en la forma de las transformadas. Tratar de preservar la simetría no ayuda. Como señala el artículo siguiente, se puede demostrar que si se toma el mismo signo para las fórmulas directa e inversa, "una fórmula no es exactamente la inversa de la otra".

Es un ejercicio largo y útil para verificar que $\hat{f}$ y $f$ Habitan espacios duales con un alto grado de simetría. Por ejemplo, una función contiene la misma "energía" que su FT (Plancherel). Es discutible si la física estaría igualmente bien servida si se hubiera elegido una convención diferente, incluso si encontramos casos particulares que parecen señalar el camino no tomado.

Gran parte de este material se puede encontrar en un artículo de la edición de enero/febrero de 2016 de IEEE's Pulse, que a su vez se basa en una secuencia de notas de Deakin enumeradas en las referencias.

doetoe · Answer 3

La hipótesis de De Broglie esencialmente dice que los estados de cantidad de movimiento definida $p$ son de la forma $\psi(r) = e^{ipr}$ . Estos son ortogonales respecto al producto interno.

⟨ F | gramo ⟩ := \int F (r) \bar{gramo} (r) d r

$\langle f|g\rangle := \int f(r)\overline g(r)dr$

(para cualquier escala, obviamente seguirían siendo ortogonales). Por los postulados de la mecánica cuántica, generan el espacio de estado completo.

Estados de posición definida $r_0$ son de la forma $\phi(r) = \delta(r_0 - r)$ .

En un espacio vectorial de dimensión finita $V$ con un producto interno y una base $\psi_p$ , cada elemento $v\in V$ es de la forma

v = \sum_{pag} a_{pag} ψ_{pag} .

$v = \sum_pa_p\psi_p.$

Si el $\psi_p$ son ortonormales, es inmediatamente claro que

\begin{matrix} (1) & a_{pag} = ⟨ v | ψ_{pag} ⟩ . \end{matrix}

$a_p = \langle v|\psi_p\rangle.\tag1$

podríamos ver $a$ como una función de $p$ : $a(p) := a_p$ , dando el coeficiente de $v$ en la base $\psi_p$ .

Si tenemos otra base ortonormal $\phi_r$ , en el que el índice ha sido denotado sugestivamente por un símbolo diferente, también tenemos

v = \sum_{r} b_{r} ϕ_{r},

$v = \sum_rb_r\phi_r,$

y

b (r) := b_{r} = ⟨ v | ϕ_{r} ⟩ .

$b(r) := b_r = \langle v|\phi_r\rangle.$

Para las bases antes descritas $a$ (la función de coeficiente) sería la representación del momento de $v$ y $b$ como la representación de la posición . Tenemos $\langle\psi_p|\phi_r\rangle = e^{ipr}$ , y su primera expresión es el análogo de dimensión infinita de (1), mientras que su segunda expresión es el análogo de

b (r) \equiv ⟨ v | ϕ_{r} ⟩ = \sum a_{pag} ⟨ ψ_{pag} | ϕ_{r} ⟩

$b(r) \equiv \langle v|\phi_r\rangle = \sum a_p\langle\psi_p|\phi_r\rangle$

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