¿Explicación intuitiva de por qué el momento es la transformada de Fourier variable de posición?

La otra respuesta es correcta, pero quiero dar otra perspectiva, que creo que es la más coherente. Claramente, tenemos que empezar en alguna parte. Mi punto de partida es definir el momento como la cantidad que se conserva como consecuencia de la simetría traslacional.

En mecánica cuántica, el operador de traducción para una sola partícula sin espín actúa sobre los estados como

$$(T_a \psi)(x)=\psi(x-a)$$ y su generador es$^1$ $$G=i\hbar\frac{d}{dx} \quad\iff\quad T_a=e^{iaG/\hbar}.$$

Si el sistema es traslacionalmente simétrico, el generador$G$se conserva, como se deduce de los argumentos generales de la mecánica cuántica. Convencionalmente consideramos su opuesto como el operador de cantidad de movimiento, que también se conserva claramente.

Ahora, los estados propios del operador de cantidad de movimiento son los estados$\lvert p\rangle$cuyas funciones de onda son$^2$

$$\langle x\vert p\rangle=e^{ipx/\hbar}$$ y por lo tanto la probabilidad de un estado genérico$\vert\psi\rangle$tener impulso$p$es $$\langle p\vert\psi\rangle=\int\!dx\,\langle p\vert x\rangle\langle x\vert\psi\rangle =\int\!dx\,e^{-ipx/\hbar}\psi(x).$$ Este resultado dice que la densidad de probabilidad del impulso es la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad de la posición$^3$. Así es como se relacionan la posición y el momento a través de la transformada de Fourier.

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tonterías inútiles:

$^1$una forma de ver esto es comparar las expansiones

$$\begin{align} (T_a \psi)(x) &= \psi(x-a) = \psi(x)-a\frac{d\psi}{dx}(x) + o(a^2)\\ &= (e^{iaG/\hbar}\psi)(x) = \psi(x) + \frac{ia}{\hbar}(G\psi)(x) + o(a^2) \end{align}$$

$^2$esto se debe a que en la representación de la posición, la ecuación de valor propio para el momento dice

$$-i\hbar\frac{d\phi_p}{dx}(x)=p\phi_p(x)$$ que tiene la solución (única) antes mencionada (tenga en cuenta que no son normalizables, por lo que en realidad son estados propios generalizados)

$^3$un poco vagamente hablando, ya que las probabilidades son sus$|\cdot|^2$

El momento no es la transformada de Fourier de la posición.

En la representación de posición, posición es el operador de multiplicación por$x$, mientras que el impulso es un múltiplo de diferenciación con respecto a$x$. Estos observables (operadores) no son transformadas de Fourier entre sí.

En la representación de la cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento es el operador de la multiplicación por$p$, mientras que la posición es un múltiplo de diferenciación con respecto a$p$. Estos observables (operadores) no son transformadas de Fourier entre sí.

La razón por la que estas representaciones son apropiadas para la posición y el momento es el hecho de que en ambas representaciones, los conmutadores satisfacen las relaciones canónicas de conmutación, el análogo cuántico de la relación de paréntesis de Poisson$\{p,q\}=1$.

La transformada de Fourier se presenta solo como el medio para cambiar de la representación de posición a la representación de momento o viceversa. La razón es que además de un factor, la diferenciación de la transformada de Fourier de una función$\psi$es equivalente a la multiplicación de$\psi$y diferenciación de$\psi$es equivalente a la multiplicación de la transformada de Fourier de$\psi$.

Para mí esto es intrínsecamente y simplemente una generalización de la relación de De Broglie,

$$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k.$$ Por supuesto, en esta forma solo es válida para ondas planas o partículas. En el caso general, como postula Schrödinger, la partícula está descrita por alguna función $\psi(x)$de posición, que es distinto de cero en algún rango definido de espacio. Debido a que ya no tiene una onda plana, debe tener algún rango de longitudes de onda/momentos en juego; si tan solo pudieras traducir tu función de posición en una función de longitud de onda (es decir, de momento), entonces estarías clasificado. Afortunadamente, esto es lo que hace una transformada de Fourier.

Una explicación intuitiva basada en la comprensión de tiempo/frecuencia de la transformada de Fourier surge al considerar el par,$x$y$p/\hbar$siguiendo la relación de De Broglie que señala Emilio. Por cierto$p/\hbar$tiene unidades de$1/distance$. Así, puedes considerar$t\rightarrow x$y$\omega\rightarrow k=p/\hbar$.

Desde aquí podemos alinear la variable encontrada en la teoría de Fourier de tiempo/frecuencia con la teoría de Fourier de posición/momento:

$$\begin{array}{lll} \textrm{Time/freq} & \textrm{Spc/momentum} \\ \hline t_n(s)&x_n&[n^{th} \textrm{ sample}]\\ N & M&[\textrm{Number of samples}]\\ \omega_m \left(\frac{rad}{s}\right)& k_m=\frac{p}{\hbar} \left(\frac{rad.}{m}\right)&\textrm{FT ang. freq. sample}\\ f_i=\frac{\omega_i}{2\pi} \left(\frac{1}{s}\right)& \tilde{\nu}_i=\frac{k_i}{2\pi} \left(\frac{1}{m}\right)&\textrm{FT freqency samples}\\ f(x_n)&f(t_n)&\textrm{Given function}\\ F(\omega_m)=\sum_n^{N-1}f(t_n)e^{-i\omega_mt_n} &\begin{array}{ll}F(k_m)=\sum_n^{N-1}f(x_n)e^{-ik_mx_n}\end{array}&\textrm{Fourier transform}\\ \end{array}$$ $k_i$se llaman números de onda (angular) y si considera la frecuencia ordinaria, entonces $\tilde\nu=k_i/2\pi=p/h$es el número de onda espectroscópico (análogo a $f_i=\omega_i/2\pi$).

El momento se define por cómo evoluciona dinámicamente una solución de la ecuación de onda, por lo que la relación dada por la transformada de Fourier no es general, sino que se limita a ciertas leyes de evolución. La ecuación de Schroedinger de la partícula libre tiene ciertas soluciones de la forma$\exp(i(\mathbf{k}.\mathbf{r}-\omega t))$que no hacen más que trasladarse en el espacio con velocidad constante. Su velocidad y cantidad de movimiento es proporcional a$\mathbf{k}$. Y estas soluciones son también las únicas soluciones que tienen un impulso definido. Todas las demás soluciones son combinaciones lineales y, por lo tanto, superposiciones de cantidad de movimiento.

Si desea saber qué contribuciones de cantidad de movimiento están presentes en una función de onda dada, debe expandir esa función en términos de las soluciones de cantidad de movimiento definida. Afortunadamente, estas soluciones forman una base ortogonal del espacio de Hilbert, de modo que la expansión se convierte en un producto interno simple, a saber$c(\mathbf{k},t) = \int_{-\infty}^\infty \exp(i(\mathbf{k}.\mathbf{r}-\omega t))^* \psi(\mathbf{r})d\mathbf{r}$. Ahora podemos aplicar la conjugación compleja y sacar la dependencia del tiempo de la integral:$c(\mathbf{k},t)=\exp(i\omega t)\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-i\mathbf{k}.\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})d\mathbf{r}$. No hemos asumido ninguna dependencia del tiempo de$\psi$, por lo que podemos suponer que$\psi$se refiere a un estado en$t=0$de modo que nos deshacemos del factor principal y tenemos$c(\mathbf{k})=\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-i\mathbf{k}.\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})d\mathbf{r}$, que es la transformada de Fourier de$\psi(\mathbf{r})$.