Cantidad de movimiento de una partícula en una caja

Tome una caja unitaria, las funciones propias de energía son pecado ⁡ ( norte π X ) (ignorando la constante de normalización) dentro del cuadro y 0 fuera. He leído que no existe un operador de cantidad de movimiento para una partícula en una caja, ya que ℏ i d d X pecado ⁡ ( norte π X ) = ℏ i norte π porque ⁡ ( norte π X ) y esto no es 0 en los puntos finales. No obstante, podemos escribir pecado ⁡ ( norte π X ) = mi i norte π X − mi − i norte π X 2 i , lo que parece implicar que hay dos posibles valores de cantidad de movimiento: norte π y − norte π , cada uno con un 50 % de probabilidad. ¿Está mal? Si midió uno de estos momentos y la función de onda colapsó a uno de los estados propios, entonces no resolvería las condiciones de contorno. Entonces, ¿qué valores de cantidad de movimiento podrías obtener si midieras la cantidad de movimiento de una partícula en una caja?

Editar: sé que no se puede medir exactamente el momento de una partícula, pero normalmente después de una medición del momento, o de un observable continuo, la función de onda colapsa en una superposición continua de estados propios del momento correspondientes a la precisión de su medición. Pero en este caso, dado que la función de onda parece ser solo una superposición de dos estados propios de impulso, la función de onda debe colapsar exactamente en uno de ellos, o eso parece.

Respuestas (3)

Hay dos problemas diferentes. Uno de ellos es el signo del impulso; el otro es si el impulso se distribuye (no se debe a las condiciones de contorno antinaturales).

Con respecto al primer punto, la onda estacionaria (seno) es una función real y cada función de onda real tiene la misma probabilidad de llevar cantidad de movimiento. + pag y − pag . Entonces, de hecho, ambos son igualmente probables.

Pero incluso si escribes el seno como una diferencia de dos exponenciales complejos, sigue siendo cierto que estos exponenciales no son iguales a la función de onda en todas partes, solo dentro del cuadro, por lo que sigue siendo falso que el impulso esté estrictamente limitado a dos valores. pag y − pag .

Para obtener las probabilidades de diferentes momentos, necesita transformar la onda estacionaria de Fourier: algunas ondas del seno. Uno tiene

∫ 0 1 d X pecado ⁡ ( norte π X ) Exp ⁡ ( i pag X ) = norte π [ − 1 + mi i pag ( − 1 ) norte ] pag 2 − norte 2 π 2
Elevar al cuadrado el valor absoluto para obtener la densidad de probabilidad de que el momento sea pag . El momento pag debe tener los prefactores naturales ℏ / L etc. y la función de onda general debería obtener otro factor de normalización para que la probabilidad general sea igual a uno. Esto no cambia nada sobre la forma de la distribución de probabilidad: casi todos los valores de pag tienen una probabilidad distinta de cero.

Eso tiene sentido, sin embargo, si el lado derecho es ψ ( pag ) , entonces debería poder escribir ψ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ d pag ψ ( pag ) mi − i pag X , pero este no parece ser el caso, lo que me hace sospechar.
¡Es el caso! Por Fourier-transformándola de nuevo, incluyendo la derecha 1 / 2 π etc. por supuesto, obtienes la función original: seno en el intervalo y cero fuera del intervalo. No es difícil ver que este es un resultado plausible incluso sin un cálculo. el denominador pag 2 − k 2 significa que si actúas sobre la función de onda por pag 2 − k 2 , obtienes algo más simple. Esto es − ∇ 2 − k 2 en la posición rep, y de hecho este operador aniquila la función casi en todas partes excepto en los límites donde crea funciones delta.
Ok, lo único es que parece que después de hacer una medición del impulso, y la función de onda colapsa a ∫ − ϵ ϵ d pag ψ ( pag ) mi − i pag X o lo que sea, no resolverá las condiciones de contorno, lo que parece problemático. Una de las justificaciones que vi en línea para la afirmación de que solo hay valores de impulso discretos es la longitud de onda de De Broglie, siendo la longitud de onda la correspondiente al argumento de pecado . Esto me hace preguntarme si la longitud de onda de De Broglie es realmente buena para cualquier cosa, excepto si sabes que la partícula está aproximadamente en un estado propio de impulso.
Una cosa que he notado es que la "longitud de onda de de broglie" ni siquiera es una longitud de onda posible, curiosamente (al menos para n = 1).
Me sorprende que en esta respuesta no considere las condiciones de contorno en el operador de momento y, por lo tanto, cuantifique sus valores propios.
Lo siento, Alejandro, el operador de cantidad de movimiento en una recta infinita siempre es − i ℏ ∇ independientemente del valor del potencial V ( X ) y nunca hay "condiciones de contorno" adicionales. Por eso el espectro de pag siempre es continua si no hay valores de X se identifican entre sí. Puede que estés confundiendo el impulso pag con la energía mi . Este último está cuantizado en la caja pero mi ≠ pag 2 / 2 metro . En cambio, mi = pag 2 / 2 metro + V dónde V es infinito fuera de la caja por lo que no hay contradicción entre la continuidad de pag y discreción de mi .

Creo que esta es una gran pregunta. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0103153 Este artículo explica por qué no debemos imponer las condiciones de contorno que hacemos (la función de onda va a 0 en los límites) y en su lugar deberíamos usar la condición de que la función de onda es igual en ambos extremos. La justificación es en parte por razones matemáticas, pero en parte porque esa condición es demasiado fuerte físicamente; la función de onda no es medible. Por otro lado, la probabilidad de encontrar la partícula entre ayb es medible. Solo queremos asegurarnos de que si a=0 y b se acerca a 0, la probabilidad se acerque a 0 continuamente. Esto se puede lograr incluso si la función de onda es discontinua.

Una vez que hacemos cumplir la condición más débil, se permiten ciertas funciones que son exponenciales dentro de la caja y cero fuera (las que tienen las mismas longitudes de onda que los autoestados de energía) y estos son, de hecho, los autovalores de cantidad de movimiento. Exactamente como dijiste, si mides el impulso, la partícula colapsará en uno de esos estados.

Estoy de acuerdo con la relevancia del artículo para la pregunta, pero no con la conclusión.
Este es un artículo excelente que debería ser de lectura obligatoria para resaltar correctamente los problemas del pozo infinito, que con demasiada frecuencia se pasan por alto en las introducciones cualitativas a la cuantización de la energía.

Me gustaría dar más detalles sobre la respuesta de @Lubos Motl.

La suposición de que la función de onda debe llegar a cero se modela como una función sinusoidal. Esto es complicado porque, como se indicó anteriormente, la función de onda utilizada no llega a 0 en todas partes fuera de la caja. Esta es una sutileza que nunca se discute en los cursos porque abre una caja de Pandora sobre cuán válida es esta aproximación (que es un modelo adecuado para hacer cálculos, consulte http://arxiv.org/abs/0704.1820 ). Una solución posible, pero engorrosa, como se ve en la integral de Fourier en la publicación anterior, sería tener la función de onda en la forma de

ψ = θ ( X ) θ ( 1 − X ) pecado ⁡ ( norte π X ) ,
dónde θ ( X ) es la función escalón de Heaviside. Esto corta efectivamente la función de onda de existir más allá del límite.

Además, el impulso, en este caso, no es un número cuántico "bueno". Esto significa que debido a que no tiene un sistema periódico e infinito, la función de onda no puede tomar ningún valor de cantidad de movimiento. El norte π son armónicos que este modelo permite debido a los límites. Este es solo un modelo y es posible que no represente los resultados exactos en los sistemas que se describen.

¿Puede explicar por qué no es un buen número cuántico? De la respuesta anterior, parece que la partícula puede tomar cualquier (o casi cualquier) valor de impulso.
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