Correlaciones de deformación cortante a partir de la transformada de Fourier de desplazamiento

Ya que nadie ha respondido esto, voy a intentarlo. Lo más probable es que ya haya resuelto esto, pero otros pueden encontrar esta pregunta, por lo que puede ser útil.

Creo que sus definiciones de$C^\perp(\vec{q})$y$C^\parallel(\vec{q})$son correctos, y espero poder arrojar algo de luz. Creo que el tensor de desplazamiento cuadrático medio colectivo está definido

$$\mathbb{C} = \langle \vec{u}(\vec{q})^* \, \vec{u}(\vec{q}) \rangle$$ es decir, como un producto diádico, un $2\times2$matriz (en 2D). Estoy omitiendo los argumentos de tiempo para mayor claridad. Además, normalmente usaríamos un sombrero o una tilde para indicar las variables transformadas de Fourier, pero también lo omito. Ahora, para distinto de cero $\vec{q}$, este no es un tensor isotrópico, aunque el material (un vidrio) se toma como isotrópico. Sin embargo, es claro (por simetría) que en un sistema de coordenadas basado en vectores unitarios $(\vec{e}_\parallel,\vec{e}_\perp)$, definida de modo que $\vec{q}=q\vec{e}_\parallel$, y $\vec{e}_\perp$es perpendicular a $\vec{q}$, el tensor será diagonal. Habrá una componente longitudinal de $\vec{u}$, Paralelo a $\vec{q}$, y una componente transversal, perpendicular a $\vec{q}$: $$\mathbb{C}' = \begin{pmatrix} \langle |u_\parallel(\vec{q})|^2 \rangle & 0 \\ 0 & \langle |u_\perp(\vec{q})|^2 \rangle \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} C^\parallel(\vec{q}) & 0 \\ 0 & C^\perp(\vec{q}) \end{pmatrix}$$ Toda la física radica en esas dos funciones. $C^\parallel(\vec{q})$y $C^\perp(\vec{q})$; no hay término cruzado. Las definiciones de estas funciones dadas aquí son las mismas (creo) que las que tomó del documento del grupo Barrat.

Los diversos coeficientes en la complicada expresión de correlación de deformación, ecuación (10) en el material complementario para el artículo de Illing, son simplemente lo que se necesita para rotar la matriz hacia atrás desde esta forma diagonal.$\mathbb{C}'$a la forma fija en el espacio$\mathbb{C}$, y usarlo para calcular la cantidad deseada relacionada con la deformación$C_{\varepsilon_{xy}\varepsilon_{xy}}$en lugar de simplemente el desplazamiento. El espacio fijo$xy$el sistema es arbitrario, por supuesto, pero fijo; mientras que considerará una amplia variedad de$\vec{q}$vectores El coseno y el seno del ángulo de rotación.$\phi$entre los dos sistemas de coordenadas están simplemente relacionados con los componentes del vector unitario derivado de$\vec{q}$. La fórmula de conversión es

$$\begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_\parallel \\ u_\perp \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_x/q & -q_y/q \\ q_y/q & q_x/q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_\parallel \\ u_\perp \end{pmatrix}$$ La deformación es el gradiente simetrizado del desplazamiento, por lo que el término apropiado en el espacio de Fourier es (donde $i=\sqrt{-1}$) $$\begin{align*} \varepsilon_{xy}(\vec{q}) &= \frac{1}{2}\left[ iq_x u_y(\vec{q}) + iq_y u_x(\vec{q})\right] \\ \langle |\varepsilon_{xy}|^2\rangle &= \frac{1}{4}\left[ q_x^2 \langle | u_y |^2\rangle + q_y^2 \langle | u_x |^2 \rangle + q_xq_y \langle u_x^* u_y\rangle + q_xq_y \langle u_y^* u_x\rangle \right] \end{align*}$$ reemplazando $(u_x,u_y)$usar la fórmula de rotación anterior es tedioso pero sencillo, y hay cierta simplificación ya que todos los términos cruzados desaparecen: $$\begin{align*} C_{\varepsilon_{xy}\varepsilon_{xy}} = \langle |\varepsilon_{xy}|^2\rangle &= \frac{q_x^2q_y^2}{q^2} \langle | u_\parallel |^2 \rangle +\frac{q_x^4+q_y^4-2q_x^2q_y^2}{4q^2}\langle | u_\perp |^2\rangle \\ &= \frac{q_x^2q_y^2}{q^2} C^\parallel +\frac{q_x^4+q_y^4-2q_x^2q_y^2}{4q^2} C^\perp \end{align*}$$ Teniendo en cuenta que $q_x^2+q_y^2=q^2$, esto es idéntico a la fórmula que le preocupaba.