¿Simetría de la acción de Polyakov?

La respuesta es: Sí, la acción de Polyakov es invariante bajo una simetría Killing en el espacio objetivo.

1. Sugerencias: realiza una variación infinitesimal

   $$\delta X^{\mu}~=~\varepsilon K^{\mu}(X) \tag{A}$$ en el espacio de destino a lo largo del campo del vector Killing . Aquí$\varepsilon$es un parámetro infinitesimal.

2. Muestre que la métrica inducida

   $$(X^{\ast}G)_{ab}~:=~\partial_a X^{\mu} ~\partial_b X^{\nu}~ G_{\mu\nu}(X)\tag{B}$$ es invariante bajo la variación infinitesimal (A) $$\delta(X^{\ast}G)_{ab}~=~0.\tag{C}$$ Concluya que la acción de Polyakov también es invariante.

3. Más sugerencias para la ec. (C): Usa eso

   $$\partial_a \delta X^{\lambda} ~=~ \varepsilon\partial_a X^{\mu}~\partial_{\mu}K^{\lambda}, \qquad \delta G_{\mu\nu}~=~\varepsilon K^{\lambda}~\partial_{\lambda}G_{\mu\nu}.\tag{D}$$

4. Es más fácil usar la definición derivada de Lie de un campo vectorial Killing

   $$0~=~({\cal L}_K G)_{\mu\nu}~=~ K^{\lambda}~\partial_{\lambda}G_{\mu\nu} + \partial_{\mu}K^{\lambda}~G_{\lambda\nu}+G_{\mu\lambda}~\partial_{\nu}K^{\lambda} \tag{E}$$ en lugar de la ecuación equivalente. (2).

Los campos vectoriales letales corresponden a generadores de isometría infinitesimales de la variedad de espacio-tiempo y cualquier acción física, incluida la acción de Polyakov, debe preservarse debajo de ella. De hecho, cualquier acción física debería ser invariante bajo el grupo (infinitamente) más grande de difeomorfismos de una variedad. Las transformaciones de isomotría son solo un subconjunto finito de estos difeomorfismos.