Transformación y generadores de campos escalares

Question

Transformación y generadores de campos escalares

usuario35952

Cuando hacemos una transformación (que conserva una norma) para una cantidad dada, por lo que he entendido, parece que hay una representación del elemento de grupo para cada cantidad dependiendo de cómo se transformen (por ejemplo: escalar, vector, tensor de rango 2 espinor. . ).

Considerando una rotación normal en plano 2-D (asociada a $\mathrm{SO(2)}$ grupo), si un campo escalar $\psi(x,y) \rightarrow \bar\psi(\bar x, \bar y)$ transforma, la representación para el grupo (que derivé de mis argumentos de rotaciones infinitesimales):

ψ (X, y) = (1 + L_{z} d θ) \bar{ψ} (\bar{X}, \bar{y})

$\psi(x,y) = (1+ L_z\delta\theta)\bar\psi(\bar x, \bar y)$

Ahora solo me pregunto qué permanece exactamente sin cambios aquí (ya que es un campo escalar) o simplemente lo estoy entendiendo de manera incorrecta.

También existe una forma general de encontrar una representación dada una cantidad (un campo, un vector, un tensor...) en la teoría de grupos. Dado que derivé la representación escalar anterior a diferencia de cómo encontrar la representación en grupos de Lie.

PD: ¿Es probable que la forma del campo permanezca invariable (como la forma en que la covarianza de Lorentz nos da transformaciones de spinor)?

X^{2} + y^{2} \to {\bar{X}}^{2} + {\bar{y}}^{2}

$x^2 +y^2 \rightarrow \bar x^2 +\bar y^2$

EDICIÓN 1: si quisiera derivar esta representación dimensional infinita de su grupo de Lie (como lo hago para el caso del vector), ¿cómo puedo hacerlo?

EDICIÓN 2: No puedo ver la Representación para la transformación de operadores mecánicos cuánticos del grupo directamente.

usuario35952

Encontré una respuesta que va en esta dirección, aunque no completamente: physics.stackexchange.com/q/77410

Respuestas (1)

Transformación y generadores de campos escalares

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joshfísica · Answer 1

Observaciones generales.

En general, no se puede "derivar" una representación de un grupo dado $G$ en los objetos que está considerando, pero hay algunas definiciones realmente estándar de ciertas representaciones de grupo que reciben nombres especiales como "escalar", "vector", etc.

Sin embargo, dada la representación de un grupo de Lie $G$ , esto induce una representación de su álgebra de Lie $\mathfrak g$ , y determinar una fórmula explícita para esta representación del álgebra de Lie es precisamente lo que hacemos cuando encontramos los llamados "generadores infinitesimales" de la representación del grupo correspondiente.

Un ejemplo. $\mathrm{SO}(2)$

Dejar $C^\infty(\mathbb R^2)$ denote el espacio vectorial de funciones suaves en el plano $\mathbb R^2$ . La representación escalar $\rho$ de $\mathrm{SO}(2)$ actuando $C^\infty(\mathbb R^2)$ Se define como

\begin{aligned} (ρ_{0} (R) ϕ) (X) = ϕ (R^{- 1} X) . \end{aligned}

$\begin{align} (\rho_0(R)\phi)(\mathbf x) = \phi(R^{-1}\mathbf x). \end{align}$ para cada

ϕ \in C^{\infty} (R^{2})

$\phi\in C^\infty(\mathbb R^2)$ y para cada

R \in S O (2)

$R\in\mathrm{SO}(2)$ . ¿Qué diablos está pasando aquí? Bueno, fíjate que esto también se puede escribir de la siguiente manera:

\begin{aligned} (ρ_{0} (R) ϕ) (R X) = ϕ (X) \end{aligned}

$\begin{align} (\rho_0(R)\phi)(R\mathbf x) = \phi(\mathbf x) \end{align}$ Así que esta definición encapsula la idea intuitiva de que el campo transformado

ρ (R) ϕ

$\rho(R)\phi$ evaluado en el punto transformado

R x

$R\mathbf x$ concuerda con el campo no transformado

ϕ

$\phi$ evaluado en el punto no transformado

x

$\mathbf x$ . En física, es común ver notaciones "primadas" para el campo transformado y el punto transformado;

\begin{aligned} ρ_{0} (R) ϕ = ϕ^{'}, R X = X^{'} \end{aligned}

$\begin{align} \rho_0(R)\phi = \phi', \qquad R\mathbf x = \mathbf x' \end{align}$ en cuyo caso la definición de la representación escalar se puede escribir como

\begin{aligned} ϕ^{'} (X^{'}) = ϕ (X) \end{aligned}

$\begin{align} \phi'(\mathbf x') = \phi(\mathbf x) \end{align}$ Esto probablemente te resulte familiar. Entonces, básicamente, la "invariancia" que está sucediendo es que el valor del campo no cambia siempre que el campo transformado se evalúe en el punto transformado.

Generadores infinitesimales.

Para encontrar los generadores infinitesimales de una representación dada, en realidad solo estamos tratando de encontrar una cierta representación del álgebra de Lie del grupo. Esta representación del grupo Lie $\rho$ induce naturalmente una representación de álgebra de Lie $\bar \rho$ como sigue:

\begin{aligned} \bar{ρ} (X) = \frac{d}{d t} ρ ({mi}^{t X}) |_{t = 0} \end{aligned}

$\begin{align} \bar \rho(X) = \frac{d}{dt}\rho(e^{tX})\Big|_{t=0} \end{align}$ Entonces, para el

S O (2)

$\mathrm{SO}(2)$ ejemplo, sabemos que el álgebra de Lie

s o (2)

$\mathfrak{so}(2)$ es generado por el elemento único

\begin{aligned} j = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), \end{aligned}

$\begin{align} J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \end{align}$ y podemos determinar cómo se representa este elemento en la representación inducida por la representación escalar definida anteriormente de la siguiente manera:

\begin{aligned} ({\bar{ρ}}_{0} (j) ϕ) (X) & = \frac{d}{d t} ϕ ({mi}^{- t j} X) |_{t = 0} \\ = \frac{d}{d t} ϕ (X - t y, y + t X) |_{t = 0} \\ = - y \partial_{X} ϕ (X, y) + X \partial_{y} ϕ (X, y) \\ = (- y \partial_{X} + X \partial_{y}) ϕ (X) \end{aligned}

$\begin{align} (\bar\rho_0(J) \phi)(\mathbf x) &= \frac{d}{dt}\phi(e^{-tJ}\mathbf x)\Big|_{t=0} \\ &= \frac{d}{dt}\phi(x-ty, y+tx)\Big|_{t=0} \\ &= -y\partial_x\phi(x,y) + x\partial_y\phi(x,y) \\ &= (-y\partial_x + x\partial_y)\phi(\mathbf x) \end{align}$ En otras palabras, en la representación escalar, el generador de rotaciones en el plano está representado por un operador diferencial;

\begin{aligned} {\bar{ϕ}}_{0} (j) = - y \partial_{X} + X \partial_{y} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar\phi_0(J) = -y\partial_x + x\partial_y. \end{align}$ Este mismo procedimiento se puede extender para encontrar generadores infinitesimales de otras representaciones también, como la representación vectorial

ρ_{1}

$\rho_1$ de

S O (2)

$\mathrm{SO}(2)$ que se define para actuar sobre campos vectoriales

v

$\mathbf v$ en el avión de la siguiente manera:

\begin{aligned} (ρ_{1} (R) v) (X) = R v (R^{- 1} X) \end{aligned}

$\begin{align} (\rho_1(R)\mathbf v)(\mathbf x) = R\mathbf v(R^{-1}\mathbf x) \end{align}$

Por cierto, también puede encontrar los siguientes enlaces interesantes y/o útiles:

Operadores tensoriales

Representaciones de álgebras de Lie en física

Realizaciones diferenciales de ciertas álgebras

Generadores de Grupos de Poincaré

Idea de grupo de cobertura

Operador de traducción de espacio-tiempo unitario

Bases rigurosas de los infinitesimales en la física

Un par de cosas, en primer lugar, R en la primera ecuación en sí parece una representación vectorial, ¿es correcto? En segundo lugar, todas las cantidades que se transforman, la representación está motivada por cómo la cantidad cambia o se mantiene constante.
@user35952 Básicamente sí; la representación en la que un elemento de $\mathrm{SO}(2)$ simplemente se da por sí mismo, es decir, un $2\times 2$ matriz, a menudo se llama la "representación definitoria" o la "representación fundamental" por los físicos, y puede pensar en ella como una representación "vectorial". En cuanto al segundo punto, no tengo del todo claro lo que estás diciendo/preguntando, pero por cómo lo interpretaría, la respuesta es sí. Por ejemplo, la representación de $\mathrm{SO}(2)$ en un campo vectorial gira tanto el punto donde se aplica el campo como los índices en el campo vectorial.
@user35952 Aquí también hay una exposición para usted de uno de los mejores escritores técnicos que he visto en los últimos quince años: Capítulos 1 y 2 de Rossmann,W. , "Grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales" (desafortunadamente no está en la web de forma gratuita, pero recomiendo leer hasta la sección 2.6 inclusive (la sección más relevante). Joshphysics está hablando sobre el Mapa de mentiras inducido en el álgebra inducida por un homomorfismo de grupo y siempre se calcula mediante el método exponencial-diferenciado-en-identidad explicado anteriormente
@WetSavannaAnimalakaRodVance: ¡Gracias! Todavía estoy tomando tiempo para convencerme de esto.
@WetSavannaAnimalakaRodVance Gracias por ese comentario. En particular, no conocía la terminología "mapa de mentiras".

Transformación y generadores de campos escalares

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joshfísica

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Selene Routley

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