¿Qué tan únicos son los números cuánticos que usamos comúnmente?

Usamos los valores propios de los generadores de Cartan (=generadores diagonales) de un grupo de calibre dado como números cuánticos en física. ¿Son estos números de alguna manera fijos y, de no ser así, qué transformaciones se permiten?

El ejemplo más fácil es S tu ( 2 ) con un solo generador Cartan H 1 , que comúnmente se escribe en términos de la matriz de Pauli σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) : H 1 = 1 2 σ 3 y por lo tanto

H 1 = ( 1 2 0 0 − 1 2 )

haría H 1 = ( 1 7 0 0 − 1 7 ) o H 1 = ( − 1 2 0 0 1 2 ) igualmente "trabajo"?

Un ejemplo un poco más complicado sería S tu ( 3 ) , que tiene dos generadores Cartan H 1 = 1 2 λ 3 y H 2 = 1 2 λ 8 , dónde λ 3 y λ 3 denote las matrices de Gell-Mann.

¿Qué tan únicas son las entradas diagonales de estas matrices? ¿De qué manera se nos permite transformar los generadores de Cartan (y con ellos, por supuesto, los números cuánticos correspondientes)?

(Una transformación permitida es ciertamente la que llamamos H 1 y cual H 2 , es decir, permutaciones. H 1 ↔ H 2 )

Dado que los pesos de un representante están en el dual de Cartan, especifican los valores propios de los generadores de Cartan. Por lo tanto, los valores propios son invariantes de una representación, es decir, no se modifican por ninguna transformación. ¿Me estoy perdiendo algo, o es eso lo que estás preguntando?
@ACuriousMind No creo que sea correcto. Por ejemplo, en este documento arxiv.org/abs/1502.06929 , los autores dicen explícitamente: "Elegimos los cinco generadores de Cartan linealmente independientes de la siguiente manera:..." Parece haber cierta libertad y estoy tratando de entender qué somos exactamente. permitido cambiar, es decir, de qué manera se pueden modificar los valores propios del generador de Cartan que usamos para etiquetar los pesos. Una transformación obviamente permitida, por ejemplo, son las permutaciones simples: H 1 ↔ H 2
@ACuriousMind Copiaron esta "elección" de este artículo arxiv.org/abs/hep-ph/9309312 , donde explican que usan combinaciones lineales de los elementos básicos de la subálgebra de Cartan para definir su "elección" de la subálgebra de Cartan .
Ah, ya veo, estás hablando de la libertad en la elección de la base de Cartan, no de transformar la base elegida. Creo que su respuesta radica en usar los Casimiros calculados a partir de los valores propios en lugar de los valores propios, pero necesito verificar eso.

Respuestas (1)

Aquí, por simplicidad, solo consideraremos un complejo arbitrario de dimensión finita 1 álgebra de mentira semisimple gramo .

I) Se puede demostrar que las CSA son precisamente las subálgebras de Lie torales máximas de gramo . En particular, los CSA son abelianos.

También la forma de Matar k : gramo × gramo → C (que no es degenerado) tiene una restricción no degenerada a un CSA, por lo que un CSA es canónicamente un espacio de producto interno y canónicamente isomorfo a su espacio vectorial dual .

Además, todas las CSA de gramo tienen la misma dimensión (llamado el rango r ), y se conjugan entre sí, es decir, se relacionan a través de automorfismos internos del álgebra de Lie gramo . Entonces, en este sentido, todas las opciones de CSA son equivalentes.

II) Considere a partir de ahora una elección dada arbitraria pero fija de CSA h ⊂ gramo .

Obviamente, uno puede escoger una base arbitraria ( H 1 , … , H r ) para h .

una raíz α ∈ h ∗ pertenece al espacio vectorial dual de h . Su propiedad definitoria es

(1) ∃ X ∈ gramo ∖ { 0 }   ∀ H ∈ h :     [ H , X ]   =   α ( H ) X .

Desde una perspectiva física, el elemento del álgebra de Lie X ∈ gramo juega el papel de un operador generalizado de creación/aniquilación de subida/bajada y la raíz α ∈ h ∗ juega el papel de un número cuántico generalizado.

Nótese en particular que la definición (1) en principio no depende de una elección de base ( H 1 , … , H r ) .

NB: tenga en cuenta que los autores a menudo usan otras métricas asociativas/invariantes además de la forma canónica de Killing k . Esto puede inducir un isomorfismo no canónico. h ∗ ≅ h y normalizaciones no canónicas de raíces.

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1 Muchos resultados y propiedades para álgebras de Lie complejas continúan siendo válidos para álgebras de Lie reales, aunque a veces en forma modificada.

gracias por tu respuesta. Creo que el punto clave, como ya mencionó @ACuriousMind, es que podemos elegir una base para el CSA. Todavía no estoy seguro de lo que esto significa en términos concretos, digamos, para los dos ejemplos que mencioné anteriormente. S tu ( 2 ) y S tu ( 3 ) . Nunca he visto matrices diferentes como elementos de álgebra de Cartan para las álgebras correspondientes (= nunca entradas diagonales diferentes). ¿Puede dar otro ejemplo de una posible elección de base para el CSA, específicamente para S tu ( 2 ) y S tu ( 3 ) ?
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