Dos leyes de transformación diferentes para los campos cuánticos

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Dos leyes de transformación diferentes para los campos cuánticos

Jak

Encontré una buena respuesta a un problema que me estaba molestando durante bastante tiempo en el guión de una conferencia (desafortunadamente en alemán). El primer paso de la respuesta, es lo que no me queda claro. El guión establece que la transformación de un campo cuántico $\phi$ puede escribirse de dos maneras diferentes:

1) ϕ \to {mi}^{i α_{a} T_{a}} ϕ

$1) \qquad \phi \rightarrow e^{i\alpha_a T_a} \phi$

con los generadores de un grupo de simetría SU(N) $T_a$ y

2) ϕ \to {mi}^{i α_{a} q_{a}} ϕ {mi}^{- i α_{a} q_{a}},

$2) \qquad \phi \rightarrow e^{i \alpha_a Q_a} \phi e^{-i \alpha_a Q_a},$

dónde $Q$ denota la carga de Noether. Considerando transformaciones infinitesimales tenemos

α_{a} T_{a} Φ = [α_{a} q_{a}, Φ]

$\alpha_a T_a \Phi = [\alpha_a Q_a,\Phi]$

Esto se puede usar para mostrar que los dos criterios para la ruptura espontánea de la simetría:

I $Q_a |0> \neq 0$

II $<0|\phi |0>\neq 0$

siguen el uno del otro.

Quiero decir que el vacío no es invariante bajo esta simetría, porque $Q |0> \neq 0 \rightarrow e^{i Q} |0> \neq |0>$ . Y II significa que existe un campo escalar, con un valor de expectativa de vacío que no desaparece.

Mi problema es entender por qué hay dos leyes de transformación diferentes para $\phi$ , uno usando la carga de Noether y otro usando los generadores. Siempre pensé que en QFT identificamos esos dos entre sí: $Q \leftrightarrow T$ (Para una prueba, vea, por ejemplo, esta pregunta: Conexión entre la carga conservada y el generador de una simetría )

nikos m.

si no me equivoco, 1) es una transformación local, mientras que 2) es global (al menos existe esta diferencia en los 2 ejemplos que das), también

T

$T$ son los generadores de grupos infinitesinales de Lie, mientras que

Q

$Q$ es el cargo total

Jak

Gracias por tu comentario. Lo cambié en la pregunta para evitar confusiones. En las notas se plantean una transformación global

nikos m.

bien, todavía

T

$T$ representa los generadores infinitesimales del grupo de Lie, mientras que

Q

$Q$ representa la carga total general

nikos m.

después de la última edición, no veo una diferencia, ambos

T

$T$ y

Q

$Q$ son solo representaciones diferentes de la misma álgebra de Lie de generadores de grupos

Jak

Se parece a esto, pero no es una representación de un mapa (homomorfismo) al espacio de operadores lineales sobre un espacio vectorial:

L i n (V)

$Lin(V)$ . Por lo tanto, una vez que especificamos el espacio vectorial

ϕ

$\phi$ vive, sabemos qué representación debemos actuar sobre él. Dos leyes de transformación, significaría

ϕ

$\phi$ vive en dos espacios vectoriales al mismo tiempo...?!

nikos m.

no necesariamente, ya que las representaciones son representaciones sobre el mismo espacio. Se pueden utilizar diferentes representaciones de un mismo espacio y todas ellas se relacionan mediante el álgebra de Lie. Algo así como representar la misma matriz en una transformación de coordenadas.

Jak

Nunca había escuchado acerca de eso. Si, por ejemplo,

ϕ

$\phi$ vive en el espacio tangente a la identidad del grupo (= el álgebra de Lie), el grupo actúa sobre los elementos de este espacio vectorial como

g ϕ g^{- 1}

$g \phi g^{-1}$ (y los generadores como

[T_{a}, Φ]

$[T_a,\Phi]$ , que se llama la representación adjunta y lo que corresponde a la transformación

2)

$2)$ desde arriba. ¿Cómo puede el grupo actuar sobre este espacio vectorial de otra manera?

nikos m.

mmm, no estoy seguro. ambos

T

$T$ y

Q

$Q$ debería ser el mismo. No veo una diferencia allí. Además, no se actúa sobre el espacio de otra manera, la acción se realiza a través del álgebra de Lie, el problema son las representaciones de los operadores en su pregunta.

Respuestas (1)

Dos leyes de transformación diferentes para los campos cuánticos

si no me equivoco, 1) es una transformación local, mientras que 2) es global (al menos existe esta diferencia en los 2 ejemplos que das), también $T$ son los generadores de grupos infinitesinales de Lie, mientras que $Q$ es el cargo total
Gracias por tu comentario. Lo cambié en la pregunta para evitar confusiones. En las notas se plantean una transformación global
bien, todavía $T$ representa los generadores infinitesimales del grupo de Lie, mientras que $Q$ representa la carga total general
después de la última edición, no veo una diferencia, ambos $T$ y $Q$ son solo representaciones diferentes de la misma álgebra de Lie de generadores de grupos
Se parece a esto, pero no es una representación de un mapa (homomorfismo) al espacio de operadores lineales sobre un espacio vectorial: $Lin(V)$ . Por lo tanto, una vez que especificamos el espacio vectorial $\phi$ vive, sabemos qué representación debemos actuar sobre él. Dos leyes de transformación, significaría $\phi$ vive en dos espacios vectoriales al mismo tiempo...?!
no necesariamente, ya que las representaciones son representaciones sobre el mismo espacio. Se pueden utilizar diferentes representaciones de un mismo espacio y todas ellas se relacionan mediante el álgebra de Lie. Algo así como representar la misma matriz en una transformación de coordenadas.
Nunca había escuchado acerca de eso. Si, por ejemplo, $\phi$ vive en el espacio tangente a la identidad del grupo (= el álgebra de Lie), el grupo actúa sobre los elementos de este espacio vectorial como $g \phi g^{-1}$ (y los generadores como $[T_a,\Phi]$ , que se llama la representación adjunta y lo que corresponde a la transformación $2)$ desde arriba. ¿Cómo puede el grupo actuar sobre este espacio vectorial de otra manera?
mmm, no estoy seguro. ambos $T$ y $Q$ debería ser el mismo. No veo una diferencia allí. Además, no se actúa sobre el espacio de otra manera, la acción se realiza a través del álgebra de Lie, el problema son las representaciones de los operadores en su pregunta.

qmecanico · Answer 1

I) Es difícil comentar sin ver el libro de texto, pero una interpretación es que es esencialmente solo una cuestión de asignar representaciones apropiadas de la siguiente manera. Dejar $G$ ser un grupo de Lie con el álgebra de Lie correspondiente $L$ . Dejar $\exp: L\to G$ Sea el mapa exponencial. Dejar $t_a\in L$ ser un generador de álgebra de mentira. Dejar $A$ sea un álgebra con un conjunto $A^{\times}$ de elementos invertibles.

II) Deja

r : GRAMO \to A^{\times}

$r: G ~\to~ A^{\times}$

Sea un homomorfismo de grupo de Lie. El homomorfismo del grupo de Lie induce un correspondiente homomorfismo del álgebra de Lie

r : L \to A,

$r:L~\to~ A,$

que también llamamos $r$ . Dejar

q_{a} := r (t_{a}) \in A .

$Q_a~:=~r(t_a)~\in~ A.$

III) Considere una representación de grupo/álgebra de Lie

R : GRAMO \to GRAMO L (A, C), R : L \to gramo yo (A, C),

$R:G~\to~ GL(A,\mathbb{C}), \qquad R:L~\to~ gl(A,\mathbb{C}),$

definido como

R (gramo) ϕ := r (gramo) ϕ r (gramo)^{- 1}, gramo \in GRAMO, ϕ \in A,

$R(g)\phi~:=~ r(g)\phi r(g)^{-1}, \quad g\in G, \quad \phi\in A,$

R (t) ϕ := [r (t), ϕ], t \in L, ϕ \in A,

$R(t)\phi~:=~ [r(t),\phi], \quad t\in L, \quad \phi\in A,$

respectivamente. Definir

T_{a} := R (t_{a}) = [r (t_{a}), \cdot] = [q_{a}, \cdot] \in gramo yo (A, C) .

$T_a ~:=~R(t_a)~=~[r(t_a), \cdot]~=~[Q_a, \cdot]~\in~gl(A,\mathbb{C}) .$

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nikos m.

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nikos m.

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Respuestas (1)

qmecanico

nikos m.

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