¿Cuál es la definición geométrica (o independiente de la representación) de la carga central del álgebra de Lie gg\mathfrak{g}?

Hay una forma común (Weinberg QFT Vol.1 P83) de introducir la carga central que no puedo entender. Dada una representación proyectiva unitaria tu ( gramo ) del grupo mentira GRAMO .

(1) tu ( gramo 1 ) tu ( gramo 2 ) = mi i ϕ ( gramo 1 , gramo 2 ) tu ( gramo 1 gramo 2 )

Uso de coordenadas locales { X a } elemento de identidad cercano, gramo 1. gramo 2 = gramo ( X 1 ) . gramo ( X 2 ) = gramo ( X 3 ( X 1 , X 2 ) )

(2) X 3 a ( X 1 , X 2 ) = X 1 a + X 2 a + γ a b C X 1 b X 2 C + ⋯
(3) ϕ ( gramo 1 , gramo 2 ) ≡ ϕ ( X 1 , X 2 ) = γ b C X 1 b X 2 C + ⋯
(4) tu ( gramo ( X ) ) = 1 + i X a T a + 1 2 X a X b T a b + ⋯
con T a hermitiano y T a b = T b a .

Sustancia ( 2 , 3 , 4 ) en ( 1 ) ,

(5) − T C T b = i γ C b 1 + i γ a C b T a + T C b

Al definir,

F a b C ≡ γ a C b − γ a b C F b C ≡ γ C b − γ b C
(6) [ T b , T C ] = i F a b C T a + i F b C 1
Ellos llaman F b C como carga central.

Mis preguntas:

1. Esta derivación se basa en gran medida en las coordenadas y la representación que no me son familiares. Según mi conocimiento, dado un grupo de Lie GRAMO , T a debe ser el vector tangente en el elemento identidad, es decir T a ∈ T mi GRAMO = gramo . El conmutador del álgebra de Lie aún debería estar en el álgebra de Lie. ¿Por qué puede i F b C 1 ocurre en ( 6 ) desde 1 no es un elemento en gramo .

2.Parece que están hablando de una representación específica ( 1 ) , porque dado un grupo de Lie abstracto GRAMO , mi i ϕ ( gramo 1 , gramo 2 ) no puede ocurrir en el producto del grupo. Solo después de encontrar una representación proyectiva ( 1 ) , es decir ϕ ( gramo 1 , gramo 2 ) distinto de cero, puede definir la carga central de esta manera. Sin embargo, el libro de texto también dice que para un grupo de Lie simplemente conectado, puede tener una representación proyectiva cuando la carga central del álgebra de Lie no es trivial. ¿Hay algún argumento circular aquí?

O tal vez el cargo central se define para una representación específica. Entonces la pregunta es la condición suficiente y necesaria para un álgebra de Lie gramo tener una representación con cargo central no trivial?

3. Entonces, ¿cuál es la definición geométrica de carga central? Debería haber alguna definición de carga central que no dependa de la representación y la coordinación.

↑ ¿Quiénes son? ¿Qué libro de texto? ¿Qué página?
@Qmecánico Weinberg Vol.1 Pág. 83
¿Has mirado también la presentación de Hamermesh? Desde una perspectiva algebraica, un álgebra de Lie tiene una extensión central no trivial cada vez que su segundo grupo de cohomología de Chevalley-Eilenberg no es un conjunto vacío. Resulta entonces que esta extensión es el álgebra de Lie del producto directo del grupo de Lie y el grupo de cohomología.
También vale la pena revisar el trabajo de Parthasarathy. Continuó donde lo dejó Bargmann.
Estas preguntas y respuestas mías pueden ser de su interés.
@DanielC Gracias. Me podrías pasar alguna referencia. Gratamente apreciado.
Di la literatura completa que conozco (aparte del trabajo de George Mackey) sobre el tema de las representaciones proyectivas y los grupos de Lie y las extensiones del álgebra de Lie.

Respuestas (1)

El resumen muy bien escrito del tema por ACuriousMind al que se vinculó en la sección de comentarios normalmente debería responder a su(s) pregunta(s). Tienes que juntarlo todo, es decir, pensar un poco por ti mismo. Así que no salte a ninguno de los textos a continuación.

Me pidió alguna literatura concreta sobre el tema que probablemente también sea familiar para ACuriousMind, además de la fuente que citó, es decir, el segundo capítulo de Weinberg I.

Déjeme ver.

  • Comenzaría con el famoso artículo de Valja Bargmann sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos oficialmente en http://www.jstor.org/stable/1969831

  • Entonces debería estar preparado para hacer una lectura extra de una diferencia. geom. / Texto de grupos de mentiras como Helgason, S. - Geometría diferencial, grupos de mentiras y espacios simétricos (GSM 34, AMS, 1978) para poder abordar la breve monografía genérica Parthasarathy, K. - Multipliers on Locally Compact Groups (LNM 93, Springer, 1969) y la monografía aplicada al grupo restringido de Poincaré que es Simms, DJ - Lie Groups and Quantum Mechanics (LNM 52, Springer, 1968, ---+).

  • Pasando a la literatura más reciente, tenemos la monografía de Azcárraga, J., Izquierdo, J. - Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and Some Applications in Physics (CUP, 1995) que podría ser la suma de toda la literatura citada en los otros dos párrafos arriba y dos abajo y la famosa Geometry of Quantum Theory de Varadarajan (Capítulo 7, Springer, 1968).

  • B. Thaller ofrece un enfoque menos técnico del grupo de Poincaré en comparación con Simms en su libro The Dirac Equation (Springer, 1992), sección 2.4 que comienza en la página 62.

  • La versión más ligera de todo el tema de las representaciones proyectivas y las extensiones del álgebra de Lie/grupos de Lie la ofrece Morton Hamermesh en su libro Teoría de grupos y sus aplicaciones a problemas físicos (Dover, 1962, capítulo 12).

  • Por último, pero no menos importante, todo comenzó con el trabajo de Chevalley y Eilenberg disponible gratuitamente en http://www.ams.org/journals/tran/1948-063-01/S0002-9947-1948-0024908-8/S0002 -9947-1948-0024908-8.pdf

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