¿Cuál es la representación en cuatro dimensiones de los generadores SU(2)SU(2)SU(2)?

Question

¿Cuál es la representación en cuatro dimensiones de los generadores SU(2)SU(2)SU(2)?

Física
mentira-álgebra
teoría de calibre
teoría de grupos
teoría cuántica de campos
representaciones de grupo

alexandernashzhang

Recientemente, he estado aprendiendo sobre la teoría del campo gauge no abeliano por mi cuenta. Muchas gracias @ACuriousMind, ya que con su ayuda he logrado algunos avances.

Estoy tratando de extender la ecuación de campo de Dirac con un acoplamiento a un $SU(2)$ campo de calibre:

(i γ^{m} D_{m} - metro) ψ = 0

$(i{\gamma}^{\mu }{D}_{\mu}-m)\psi =0$ dónde

D_{m} = \partial_{m} + i gramo A_{a}^{m} T_{a}

${ D }_{ \mu }=\partial _{ \mu }+ig{ A }_{ a }^{ \mu }{ T }_{ a }$ el

T_{a}

${ T }_{ a }$ es el

S U (2)

$SU(2)$ Generador de grupos de mentiras, con

[T_{a}, T_{b}] = i f^{a b c} T_{c}

$[{ T }_{ a },{ T }_{ b }]=i{ f }^{ abc }{ T }_{ c }$ , y el

γ^{μ}

${\gamma}^{\mu }$ son las matrices de Dirac. Cuando escribo explícitamente la primera parte de la ecuación de Dirac, con forma de espinor

ψ = (ϕ, χ)^{T}

$\psi=(\phi,\chi)^T$ , obtengo (parte espacial):

(\begin{matrix} 0 & σ^{i} \\ - σ^{i} & 0 \end{matrix}) \partial_{i} (\begin{matrix} \begin{matrix} ϕ \\ x \end{matrix} \end{matrix}) + i gramo (\begin{matrix} 0 & σ^{i} \\ - σ^{i} & 0 \end{matrix}) A_{a}^{i} T_{a} (\begin{matrix} \begin{matrix} ϕ \\ x \end{matrix} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\partial _{ i }\begin{pmatrix} \begin{matrix} \phi \\ \chi \end{matrix} \end{pmatrix}+ig\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}{ A }_{ a }^{ i }{ T }_{ a }\begin{pmatrix} \begin{matrix} \phi \\ \chi \end{matrix} \end{pmatrix}$ Mi problema es: solo conozco la representación lineal de ${ T }_{ a }$ es la matriz de giro de Pauli del libro de texto, pero son el conjunto de matrices de 2 dimensiones. En la expresión anterior, necesito saber la matriz de 4 dimensiones de ${ T }_{ a }$ debido a que el espinor es de 4 dimensiones, revisé algunos libros de prueba, pero no encontré la declaración explícita de la matriz 4-D.

Entonces, como se menciona en el título, ¿ Cuál es la representación en 4 dimensiones del $SU(2)$ generadores, o como puedo calcularlo?

nikos m.

es una combinación de matrices pauli de 2 dim (habituales) (en algunas representaciones)

alexandernashzhang

¡Tanques! pero ¿puede describir el procedimiento de combinación de forma más explícita? No estoy muy familiarizado con la teoría del grupo de Lie, por favor.

nikos m.

eche un vistazo aquí: en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , physicsforums.com/threads/… , efectivamente, las matrices de Pauli son las generadoras de

S U (2)

$SU(2)$

nikos m.

ver estas notas sobre grupos unitarios y representaciones cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter9.pdf también

alexandernashzhang

¿Puede decirme explícitamente, cuando hago el cálculo anterior, qué representación de matriz puedo usar, dosificar la matriz original de 2 * 2 Puali?

σ_{i}

$\sigma_{i}$ ?

nikos m.

Sí, puedes usar las pauli-matrices. Tenga en cuenta que hay combinaciones de matrices de Pauli que también son generadores (al igual que una base vectorial puede tener otras combinaciones de vectores que también son una base)

alexandernashzhang

pero en matemáticas, ¿cómo se puede hacer un producto de matriz con un 4*4 (

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ ) matriz y una matriz 2*2(

σ_{i}

$\sigma_{i}$ )? o, puedo parecer los términos fuera de la excavación en

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ como un número, y toma el producto de matrices con

σ_{i}

$\sigma_{i}$ ?

nikos m.

tiene las matrices dentro de otras matrices (un producto tensorial) en su pregunta, como tal, la dimensión final es 4

alexandernashzhang

em, permítanme preguntar directamente: cuando tomo el producto matriz de

γ^{μ} σ_{i}

$\gamma^{\mu}\sigma_{i}$ , Dosis igual a (por instante

σ_{x}

$\sigma_{x}$ ):

(\begin{matrix} 0 & σ^{i} \\ - σ^{i} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} σ^{i} & 0 \\ 0 & - σ^{i} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { \sigma }^{ i } & 0 \\ 0 & -{ \sigma }^{ i } \end{pmatrix}$ >? Si no es correcto, ¿cuál es correcto?

nikos m.

vea estas notas sobre teorías de calibre no abelianas , las dimensiones del grupo de mentira (los parámetros) no necesitan ser las mismas que las dimensiones del espacio-tiempo, además, las matrices de Pauli son efectivamente los generadores (infinitesimales) de

S U (2)

$SU(2)$

alexandernashzhang

es, Gracias por tu esfuerzo por ayudar, gracias, al leer la nota de la página 33, fondo el expreso en la Eq.9.15:

\frac{1}{2} i W_{μ}^{a} \bar{ψ} γ^{μ} t_{a} ψ

$\frac { 1 }{ 2 } i{ W }_{ \mu }^{ a }\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ , cómo tratar este término en el siguiente cálculo. Especialmente, la corriente de fermión en la ecuación 10.13:

\bar{ψ} γ^{μ} t_{a} ψ

$\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ .¿Cómo escribirlo en forma matricial completa?

Respuestas (1)

¿Cuál es la representación en cuatro dimensiones de los generadores SU(2)SU(2)SU(2)?

es una combinación de matrices pauli de 2 dim (habituales) (en algunas representaciones)
¡Tanques! pero ¿puede describir el procedimiento de combinación de forma más explícita? No estoy muy familiarizado con la teoría del grupo de Lie, por favor.
eche un vistazo aquí: en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , physicsforums.com/threads/… , efectivamente, las matrices de Pauli son las generadoras de $SU(2)$
ver estas notas sobre grupos unitarios y representaciones cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter9.pdf también
¿Puede decirme explícitamente, cuando hago el cálculo anterior, qué representación de matriz puedo usar, dosificar la matriz original de 2 * 2 Puali? $\sigma_{i}$ ?
Sí, puedes usar las pauli-matrices. Tenga en cuenta que hay combinaciones de matrices de Pauli que también son generadores (al igual que una base vectorial puede tener otras combinaciones de vectores que también son una base)
pero en matemáticas, ¿cómo se puede hacer un producto de matriz con un 4*4 ( $\gamma^{\mu}$ ) matriz y una matriz 2*2( $\sigma_{i}$ )? o, puedo parecer los términos fuera de la excavación en $\gamma^{\mu}$ como un número, y toma el producto de matrices con $\sigma_{i}$ ?
tiene las matrices dentro de otras matrices (un producto tensorial) en su pregunta, como tal, la dimensión final es 4
em, permítanme preguntar directamente: cuando tomo el producto matriz de $\gamma^{\mu}\sigma_{i}$ , Dosis igual a (por instante $\sigma_{x}$ ): $(\begin{matrix} 0 & σ^{i} \\ - σ^{i} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} σ^{i} & 0 \\ 0 & - σ^{i} \end{matrix})$ $\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { \sigma }^{ i } & 0 \\ 0 & -{ \sigma }^{ i } \end{pmatrix}$ >? Si no es correcto, ¿cuál es correcto?
vea estas notas sobre teorías de calibre no abelianas , las dimensiones del grupo de mentira (los parámetros) no necesitan ser las mismas que las dimensiones del espacio-tiempo, además, las matrices de Pauli son efectivamente los generadores (infinitesimales) de $SU(2)$
es, Gracias por tu esfuerzo por ayudar, gracias, al leer la nota de la página 33, fondo el expreso en la Eq.9.15: $\frac { 1 }{ 2 } i{ W }_{ \mu }^{ a }\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ , cómo tratar este término en el siguiente cálculo. Especialmente, la corriente de fermión en la ecuación 10.13: $\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ .¿Cómo escribirlo en forma matricial completa?

qmecanico · Answer 1

Comentario a la pregunta (v4): OP parece combinar efectivamente las simetrías del espacio-tiempo y las simetrías de calibre interno. Actúan en diferentes representaciones, o más precisamente como un producto tensorial de representaciones.

Por ejemplo, el fermión $\psi$ lleva dos tipos de índices, digamos $\psi^{\alpha i}$ , $\alpha=1,2,3,4,$ y $i=1,2$ . El fermión actúa

como un $4$ Representación del espinor de Dirac bidimensional bajo transformaciones de Lorentz.
como un $2$ -representación fundamental dimensional del grupo de calibre $SU(2)$ bajo transformaciones de norma.

Del mismo modo, el $4\times 4$ Matrices de Dirac $\gamma^{\mu}$ y el $2\times 2$ $SU(2)$ generador de grupo de calibre $T^a$ actuar sobre diferentes representaciones. El producto de $\gamma^{\mu}$ y $T^a$ es un producto tensorial. En particular, el término $\gamma^{\mu}T^a\psi$ en la fórmula de OP nuevamente lleva dos tipos de índices, y se evalúa como

(γ^{m} T^{a} ψ)^{α i} = (γ^{m})^{α}_{β} (T^{a})^{i}_{j} ψ^{β j} .

$(\gamma^{\mu}T^a\psi)^{\alpha i}~=~(\gamma^{\mu})^{\alpha}{}_{\beta}~ (T^a)^{i}{}_{j}~\psi^{\beta j}.$

em, Dose quiere decir, porque la simetría SU (2) es interna (no involucra espacio-tiempo), la representación del generador SU (2) siempre es una matriz puali 2 * 2 cuando la derivada covariante asct en el espinor 4 * 1 ( para SU (2), es 2 * 1) ?Por favor, concéntrese continuamente en esta publicación, ¡gracias!
¡Genial! ¡Gracias por tu poderosa ayuda! Creo que entiendo lo que quieres decir. Lo anoto, por favor verifíquelo, si es incorrecto, indíquelo, si es correcto, también dígame, ¡gracias!
¡Genial! ¡Gracias por tu poderosa ayuda! Creo que entendí. Lo anoto, verifíquelo, si es incorrecto, indíquelo, si es correcto, también dígame, ¡gracias! ** Como quiere decir, el campo de Dirac $\psi$ es un producto tensorial de su parte espacio-temporal y su parte interna como $\psi ={\psi}^{\alpha}\bigotimes {\psi}_{i}$ , entonces la expresión ${\gamma}^{\mu}{T}^{a}\psi =({\gamma}^{\mu}{ \bigotimes T }^{a})({\psi}^{\alpha}\bigotimes {\psi}_{i})=({\gamma}^{\mu}{\psi}^{\alpha})\bigotimes {(T}^{a}{\psi}_{i})$ , el resultado es un vector de columna de 8*1, y cada elemento es ${({\gamma}^{\mu}{T}^{a}\psi)}^{\alpha i}$ **

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