Transformación del hamiltoniano de Jaynes-Cummings

Siguiendo la sugerencia de DanielSank , intenté escribir ambos hamiltonianos en términos de operadores de Pauli :

$$H_i^n=\hbar g \sqrt{n+1}\frac{1}{2}\left[(\sigma_x+i\sigma_y)e^{-i\delta t} + (\sigma_x-i\sigma_y)e^{i\delta t} \right],$$ y $$H_{i2}^n = -\hbar \sigma_z \delta/2 + \hbar g \sqrt{n+1}\sigma_x.$$

Así que básicamente estoy buscando una transformación que convierta el contenido de los corchetes en$\sigma_x$y también hace aparecer este otro término.

Si quiero deshacerme de la dependencia del tiempo, puedo transformar todo de nuevo en la imagen de Schroedinger usando

$$U=\begin{pmatrix} \exp(i\delta t/2) &0 \\ 0 & \exp(-i\delta t /2) \end{pmatrix}.$$

Esto da:

$$UH_i^n U^+ = \hbar \sqrt{n+1}\sigma_x=H^*$$

trato de aplicar esto$U$a la ecuación de Schrödinger desde el lado izquierdo:

$$UH_i^n|\Psi\rangle = i\hbar U \partial_t |\Psi\rangle$$

luego inserto$U^{-1}U$ante el estado$|\Psi\rangle$a ambos lados:

$$U H_i^n U^{-1}U |\Psi\rangle = i\hbar U\partial_t U^{-1}U |\Psi\rangle$$

Luego cambio el nombre

$$U|\Psi\rangle \equiv |\Psi'\rangle$$

Ahora la regla del producto, como sugirió March :

$$UHU^{-1} |\Psi'\rangle = i\hbar UU^{-1}\partial_t |\Psi'\rangle + i\hbar U \partial_t( U^{-1}) |\Psi'\rangle$$ lo que lleva a $$\left(H^* - \hbar \begin{pmatrix} \delta/2 &0 \\ 0 &-\delta/2 \end{pmatrix}\right) |\Psi'\rangle =i\hbar\partial_t | \Psi' \rangle$$

¡La parte del lado izquierdo ahora es exactamente lo que estaba buscando!

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Una pregunta de seguimiento generaliza este caso especial.