SECCIÓN PRINCIPAL: El Lagrangiano
Expresemos las ecuaciones de movimiento y las ecuaciones de Euler-Lagrange con lados derechos cero
q¨k+ω2kqk− 2q˙q∑jgramok jq˙j−q¨q−q˙2q2∑jgramok jqj−q˙2q2∑jℓ _gramoj kgramojℓ _qℓ= 0(01a)
metroq¨+∂V( q)∂q−1q∑k , j( -1 _)k + jωkωjqkqj= 0(01b)
ddt(∂L∂q˙k) -∂L∂qk= 0(02a)
ddt(∂L∂q˙) -∂L∂q= 0(02b)
dóndeL ( q,q˙,qk,q˙k)
el lagrangiano.
Procedemos a las siguientes definiciones para manejar la gran cantidad de variables e índices por medio de expresiones simplificadas comprimidas:
q≡definitivamente⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢q1q2⋮qk⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥q˙≡definitivamente⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢q˙1q˙2⋮q˙k⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥q¨≡definitivamente⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢q¨1q¨2⋮q¨k⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(03)
GRAMO≡definitivamente⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢0gramo21⋮gramok 1⋮gramo120⋮gramok 2⋮gramo13gramo23⋮gramok 3⋮⋯⋯⋮⋯⋮gramo1k _gramo2k _⋮0⋮⋯⋯⋮⋯⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥= −GRAMOT(04)
Ω ( q)≡definitivamente⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ω10⋮0⋮0ω2⋮0⋮⋯⋯⋮⋯⋮00⋮ωk⋮⋯⋯⋮⋯⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=πq⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢10⋮0⋮02⋮0⋮⋯⋯⋮⋯⋮00⋮k⋮⋯⋯⋮⋯⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=ΩT( q)(05)
ϕ ( q,q˙)≡definitivamenteq˙q(06)
Definimos también el escalar real a continuación, algo así como el producto interno de vectores reales
< Q , P >≡definitivamente∑kqkPAGk(07)
Bajo estas definiciones y usando las ecuaciones (A-01), ver SECCIÓN AUXILIAR, tenemos las siguientes expresiones (08) en lugar de las ecuaciones de movimiento (01) y (09) en lugar de (02):
q¨+Ω2( q) Q − 2 ϕ ( q,q˙) Gq˙−ϕ˙( q,q˙) G Q +ϕ2( q,q˙)GRAMO2Q = 0(08a)
metroq¨+∂V( q)∂q−1q<Ω2( q) Q , Q > +1q<Ω2( q) Q , G Q > = 0(08b)
ddt(∂L∂q˙) -∂L∂q= 0(09a)
ddt(∂L∂q˙) -∂L∂q= 0(09b)
mientras que el Lagrangiano del sistema, ver ecuación (3.1) en la pregunta, utilizando las ecuaciones (A-02) se expresa como
L ( q,q˙, Q ,q˙) =12<q˙,q˙> −12<Ω2( q) Q , Q > +12metroq˙2− V( q) - ϕ < GRAMO Q ,q˙> −12ϕ2<GRAMO2P , P >
-------------------------------------------------- ---------(10)
y en una forma aún más compacta
L ( q,q˙, Q ,q˙) =12(∥∥ϕ G Q −q˙∥∥2−∥ Ω Q ∥2) +12metroq˙2− V(10′)
Intentaremos construir el Lagrangiano paso a paso mediante un procedimiento de prueba y error.
Entonces, esperamos que el primer término de la ecuación (08a) provenga de una parte lagrangianaL1(q˙)
tal que por (09a)
ddt(∂L1∂q˙) =q¨⟹∂L1∂q˙=q˙(11)
De la regla (A-3.d), ver SECCIÓN AUXILIAR,
L1
es
L1(q˙) =12<q˙,q˙>(12)
desde
∂( <q˙,q˙> )∂q˙= 2q˙(13)
Para el segundo término de la ecuación (08a) esperamos una parte lagrangianaL2( q, Q )
tal que por (09a)
−∂L2∂q=Ω2( q) Q(14)
entonces
L2( q, Q ) = −12<Ω2( q) P , P >(15)
ya que de la regla (A-3.c) y la matriz simétrica (más exactamente: diagonal)
Ω2=(Ω2)T
∂( <Ω2P , P > )∂q= [Ω2+(Ω2)T] Q =2Ω2q(dieciséis)
Pero como la parte lagrangiana
L2( q, Q )
es una función de
q
además, produce elementos en las ecuaciones de movimiento si se inserta en el segundo término de (09b):
−∂L2∂q= +12∂( <Ω2P , P > )∂q= + < Ω∂Ω∂qQ , Q >=−1q<Ω2( q) P , P >(17)
ese es exactamente el tercer término en la ecuación (08b).
Por otro lado los dos primeros términos de (08b) son los de una partícula moviéndose en un potencial, por lo que provienen de una parte lagrangianaL3( q,q˙)
:
L3( q,q˙) =12metroq˙2− V( q)(18)
Esta parte
L3( q,q˙)
si se inserta en (9a) no produce nada (ningún término en las ecuaciones de movimiento). Ahora, en (08a) la mitad del 3er término y el 4to término dan
− ϕ ( q,q˙) Gq˙−ϕ˙( q,q˙) G Q =ddt( − ϕ GRAMO Q )(19)
entonces esperamos una parte lagrangiana
L4( q,q˙, Q ,q˙)
tal que por (09a)
∂L4∂q˙= − ϕ ( q,q˙) G Q(20)
eso es
L4( q,q˙, Q ,q˙) =−ϕ ( q,q˙) < G Q ,q˙>(21)
Pero, debido a la antisimetría de
GRAMO
, esta parte también puede expresarse como
L4( q,q˙, Q ,q˙) =+ϕ ( q,q˙) < Gq˙, Q >(22)
entonces insertando esto en el segundo término de (09a)
−∂L4∂q= − ϕ ( q,q˙) Gq˙(23)
que es la otra mitad del 3er término en (08a). Esto significa que
L4
, si se inserta en (09a), produce los términos 3 y 4 de (08a)
ddt(∂L4∂q˙) -∂L4∂q= − 2 ϕ ( q,q˙) Gq˙−ϕ˙( q,q˙) G Q(24)
La salida de la inserción de
L4
en (09b) se examinaría más adelante junto con
L5
. El quinto término de (08a) puede provenir de una parte lagrangiana
L5( q,q˙, Q ,q˙)
tal que por (09a)
−∂L5∂q=ϕ2( q,q˙)GRAMO2q(25)
entonces
L5( q,q˙, Q ,q˙) =−12ϕ2<GRAMO2P , P >(26)
ya que de (A-03.c) y la simetría de
GRAMO2
∂( <GRAMO2P , P > )∂q= (GRAMO2+(GRAMO2)T) Q =2GRAMO2q(27)
Se puede probar, ver UNA SECCIÓN DE PRUEBA, que la suma
L45=L4+L5
L45( q,q˙, Q ,q˙) =L4+L5= −12ϕ2<GRAMO2Q , Q >−ϕ ( q,q˙) < G Q ,q˙>(28)
si se inserta en (09b) produce el cuarto término de (08b)
ddt(∂L45∂q˙) -∂L45∂q= +1q<Ω2( q) Q , G Q >(29)
En la ecuación (30) a continuación, sumamos las partes lagrangianas encontradas y el lagrangiano final es
L ( q,q˙, Q ,q˙) =12<q˙,q˙>L1−12<Ω2( q) P , P >L2+12metroq˙2− V( q)L3− ϕ < GRAMO Q ,q˙>L4−12ϕ2<GRAMO2P , P >L5
-------------------------------------------------- ---------(30)
idéntico al dado en el documento, ecuación (10).
Las ecuaciones (31) son las ecuaciones de movimiento (08) con llaves debajo de los elementos indicados a partir de los cuales los términos lagrangianosLmetro
estos elementos provienen de:
q¨L1+Ω2( q) QL2− 2 ϕ ( q,q˙) Gq˙−ϕ˙( q,q˙) G QL4+ϕ2( q,q˙)GRAMO2qL5= 0(31a)
metroq¨+∂V( q)∂qL3−1q<Ω2( q) P , P >L2+1q<Ω2( q) Q , G Q >L4+L5= 0(31b)
Tenga en cuenta que los momentos canónicos
pag __
conjugar a
q q_
respectivamente son
PAGpag=∂L∂q˙=q˙−q˙qG Q=∂L∂q˙= metroq˙−1q< G Q , P >(32a)(32b)
donde para la prueba de (32b)
pag=∂L∂q˙= metroq˙−1q< G Q ,q˙> −q˙q2<GRAMO2P , P >= metroq˙−1q< G Q ,q˙> +q˙q2< G Q , G Q >= metroq˙−1q< G Q ,q˙−q˙qG QPAG> = metroq˙−1q< G Q , P >(32b′)
Las ecuaciones (32a) y (32b) son idénticas a (3.3) y (3.4) del documento respectivamente, que se dan a continuación
PAGkpag=q˙k−q˙q∑jgramok jqj= metroq˙−1q∑j kgramok jPAGkqj(3.3)(3.4)
SECCIÓN AUXILIAR: Expresiones simplificadas comprimidas y reglas de diferenciación parcial
Las ecuaciones (A-01) son útiles para la conversión de las ecuaciones de movimiento de la forma (01) a la forma (08):
ω2kqk=[Ω2( q) P ]k∑jgramok jqj=[ GQ ] _k∑jgramok jq˙j=[ Gq˙]k∑jℓ _gramoj kgramojℓ _qℓ= −∑ℓ(∑jgramok jgramojℓ _)qℓ= −∑ℓ(GRAMO2)kℓ _qℓ= −(GRAMO2q )kq¨q−q˙2q2=ddt(q˙q) =dϕ ( q,q˙)dt=ϕ˙( q,q˙)∑k , j( -1 _)k + jωkωjqkqj= <Ω2( q) Q , Q > − <Ω2( q) Q , G Q >(A-01.a)(A-01.b)(A-01.c)(A-01.d)(A-01.e)(A-01.f)
La demostración de (A-01.f) es la siguiente
∑k , j( -1 _)k + jωkωjqkqj=∑kω2kq2k<Ω2( q) P , P >+∑k , j ≠ k( -1 _)k + jωkωjqkqj− <Ω2( q) Q , G Q >(A-01.f′)
desde
∑k , j ≠ k( -1 _)k + jωkωjqkqj=(πq)2∑k , j ≠ k( -1 _)k + jk jqkqj=(πq)2∑k , j ≠ k( -1 _)k + j2kj _ _j2−k2gramok jj2−k22qkqj=12∑k , jgramok j(ω2j−ω2k)qkqj=−12∑j(ω2jqj)[Ω2( q) P ]j∑kgramoj kqk[ GQ ] _j−12∑k(ω2kqk)[Ω2( q) P ]k∑jgramok jqj[ GQ ] _k= − <Ω2( q) Q , G Q >
-------------------------------------------------- ---------(A-01.f′′ ′)
Las ecuaciones (A-02) y (A-03) son útiles para la conversión del Lagrangiano de la forma (3.1), ver ecuación en cuestión, a la forma (10) y para la construcción de este Lagrangiano paso a paso a partir de la ecuaciones de movimiento (08) :
∑kq˙2k= <q˙,q˙> =∥∥q˙∥∥2∑kω2k( q)q2k= <Ω2Q , Q >=<Ω Q ,ΩTQ >=<Ω Q ,Ω Q >=∥ Ω Q ∥2∑j , kgramok jq˙kqj= < G Q ,q˙> = − < GRAMOq˙, Q >∑j , k , ℓgramok jgramokℓ _qℓqj= − <GRAMO2Q , Q >=< G Q , G Q >=∥ G Q ∥2(A-02.a)(A-02.b)(A-02.c)(A-02.d)
Las ecuaciones (A-02.c) y (A-02.d) se demuestran respectivamente como sigue
∑j , kgramok jq˙kqj=∑k(∑jgramok jqj)q˙k=∑k[ GQ ] _k[q˙]k=< G Q ,q˙> = < Q ,GRAMOTq˙> = < Q , − Gq˙> = − < GRAMOq˙, Q >(A-02.c′)
∑j , k , ℓgramok jgramokℓ _qℓqj=∑k(∑jgramok jqj) (∑ℓgramokℓ _qℓ) =∑k[ GQ ] _k[ GQ ] _k= < G Q , G Q > = <GRAMOTGRAMO Q , Q >=−<GRAMO2P , P >(A-02.d′)
Las ecuaciones (A-03) a continuación son, en cierto sentido, reglas de diferenciación parcial de una función escalar de una variable vectorialS
con respecto a esta variable. Las funciones escalares suelen ser productos internos y el vector variable esS = Qoq˙
. En el siguienteuna , r
son vectores yF
transformación lineal todas ellas independientes del vector variableS
. GeneralmenteF =Ω,Ω2, G ,GRAMO2
:
∂( < A , S > )∂S=∂( < S , A > )∂S= un∂( < R , F S > )∂S=∂( <FTR , S > )∂S=FTR∂( < F S , S > )∂S= ( F +FT) S∂( < S , S > )∂S= 2S _(A-03.a)(A-03.b)(A-03.c)(A-03.d)
(A-03.b) es un caso especial de (A-03.a) con
un =FTR
y (A-03.d) es un caso especial de (A-03.c) con
F = yo
.
Una identidad útil en la siguiente sección es
GRAMOT= − G⟹< GRAMO , S > = 0 , _para cualquier vector real S(A-04)
desde
< GRAMO S , S > = < S ,GRAMOTS >=< S , ( - GRAMO ) S >=-< GRAMO S , S >(A-04′)
UNA SECCIÓN DE PRUEBA: Prueba de la ecuación (29) dada la ecuación (28).
Probaremos la ecuación (29) a partir de (28), las dos ecuaciones repetidas aquí por conveniencia
ddt(∂L45∂q˙) -∂L45∂q= +1q<Ω2( q) Q , G Q >(29)
dónde
L45( q,q˙, Q ,q˙)≡definitivamente−12ϕ2( q,q˙) <GRAMO2Q , Q >−ϕ ( q,q˙) < G Q ,q˙>(28)
−∂L45∂q= ϕ∂ϕ∂q<GRAMO2Q , Q >+∂ϕ∂q< G Q ,q˙>= (q˙q)∂(q˙q)∂q<GRAMO2Q , Q >+∂(q˙q)∂q< G Q ,q˙>
entonces
−∂L45∂q= ( -q˙2q3) <GRAMO2Q , Q >+ ( −q˙q2) < G Q ,q˙>(B-01)
Ahora
∂L45∂q˙∂L45∂q˙= − ϕ∂ϕ∂q˙<GRAMO2Q , Q >−∂ϕ∂q˙< G Q ,q˙>⟹= ( -q˙q2) <GRAMO2Q , Q >+ ( −1q) < G Q ,q˙>(B-02)
Diferenciando (B-02) con respecto a
t
ddt(∂L45∂q˙) = ( -q¨q− 2q˙2q3) <GRAMO2Q , Q >+ ( −q˙q2) <GRAMO2q˙, Q >+ ( -q˙q2) <GRAMO2q ,q˙> + (q˙q2) < G Q ,q˙> + ( -1q)< Gq˙,q˙>= 0 , ver (A-04)+ ( -1q) < G Q ,q¨>(B-03)
Sumando (B-01) y (B-03)
ddt(∂L45∂q˙) -∂L45∂q=( -q¨q−q˙2q3) <GRAMO2Q , Q >+ ( −2q˙q2) <GRAMO2q ,q˙> + ( -1q) < G Q ,q¨> =+1q< (q¨−q˙2q2) G Q +2q˙qGRAMOq˙−q¨, G Q > = +1q<ϕ˙G Q +2ϕ Gq˙−q¨=Ω2( q) Q +ϕ2GRAMO2P , ver (08a), G Q >+1q<Ω2( q) Q +ϕ2GRAMO2Q , G Q >=+1q<Ω2( q) Q , G Q > +ϕ2q<GRAMO2Q , G Q >= 0 , ver (A-04)
entonces
ddt(∂L45∂q˙) -∂L45∂q= +1q<Ω2( q) Q , G Q >(B-04)
QED.
udv