Relación entre los elementos de la matriz de posición y momento

Gracias a Ján Lalinský por ayudarme a verificar dos veces mi memoria defectuosa. mi suposición de$\langle\chi_n|[H_0,z]|\chi_m\rangle = 0$estaba mal. Aquí está la solución después de verificar dos veces mi trabajo.

$$\langle\chi_n|[H_0,z]|\chi_m\rangle=\langle\chi_n|H_0\,\,z|\chi_m\rangle-\langle\chi_n|z\,\,H_0|\chi_m\rangle$$ $$\langle\chi_n|[H_0,z]|\chi_m\rangle=\langle\chi_nH_0^\dagger|\,\,z|\chi_m\rangle-\langle\chi_n|z\,\,|H_0\chi_m\rangle$$ $$\langle\chi_n|[H_0,z]|\chi_m\rangle=E_n z_{nm}-E_m z_{nm} = E_{nm} z_{nm}$$ $$\langle\chi_n|[H_0,z]|\chi_m\rangle=\hbar \omega_{nm} z_{nm}$$

$$\hbar \omega_{nm} z_{nm}=\langle\chi_n|\frac{p^2}{2m}\,z|\chi_m\rangle+\langle\chi_n|\,V(r)\,\,z|\chi_m\rangle-\langle\chi_n|z\frac{p^2}{2m}|\chi_m\rangle-\langle\chi_n|z\,\,V(r)|\chi_m\rangle$$

Sea V(r) variando lentamente (aproximación dipolar).

$$\hbar \omega_{nm} z_{nm}=\langle\chi_n|\frac{p^2}{2m}\,z|\chi_m\rangle+V(r)z_{nm}-\langle\chi_n|\,z\,\frac{p^2}{2m}|\chi_m\rangle-V(r)z_{nm}$$ $$\hbar \omega_{nm} z_{nm}=\langle\chi_n|\frac{p\,p\,z}{2m}|\chi_m\rangle-\langle\chi_n|\frac{z\,p\,p}{2m}|\chi_m\rangle$$ $$\hbar \omega_{nm} z_{nm}=\langle\chi_n|\frac{p\,z\,p-pi\hbar}{2m}|\chi_m\rangle-\langle\chi_n|\frac{z\,p\,p}{2m}|\chi_m\rangle$$ $$\hbar \omega_{nm} z_{nm}=\langle\chi_n|\frac{z\,p\,p-i\hbar p-pi\hbar}{2m}|\chi_m\rangle-\langle\chi_n|\frac{z\,p\,p}{2m}|\chi_m\rangle$$ $$\hbar \omega_{nm} z_{nm}=\langle\chi_n|\frac{-i\hbar p-pi\hbar}{2m}|\chi_m\rangle$$ $$\hbar \omega_{nm} z_{nm}=\frac{-i\hbar}{2m}\langle\chi_n|p+p|\chi_m\rangle$$ $$i\omega_{nm} z_{nm}=\frac{1}{2m}2p_{nm}$$ $$i m\omega_{nm} z_{nm}=p_{nm}$$