¿Matriz para π/2π/2\pi/2 pulso?

Resumen: Ninguno de sus dos enfoques está de acuerdo con una aplicación correcta de un$\pi/2$-legumbres. La primera matriz contiene un cambio de fase fabricado, la segunda se obtiene mediante un cambio de base que simplemente no se puede aplicar dos veces.

Algunas observaciones introductorias

• A$\pi/2$-pulso representa una rotación de 90° del vector de Bloch en la esfera de Bloch alrededor de algún eje. Alrededor de qué eje depende de la forma de la interacción hamiltoniana, que debería ser de la forma$V \simeq \Omega_x\sigma_x + \Omega_y \sigma_y$, de la que se deriva la transformación unitaria anterior al cambiar a una imagen de interacción adecuada, etc. Es este unitario el que debe usarse.
• Además, tener un$\pi/2$-pulse pone ciertas restricciones en la duración del pulso, es decir, obtienes una cierta condición en la duración del pulso, que es$\Omega t = \pi$si no me equivoco. Así que cuando escribes$U_{"\pi/2"}$, deberías haber eliminado ya todo$\Omega$'arena$t$está ahí, dejándote con algo como $$U_{"\pi/2"} = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix}1&1\\-\mathrm i&\mathrm i\end{pmatrix},$$ y alguna expresión en consecuencia para$U_{"\pi/2"}'$. (Luego mostraré por qué$U_{"\pi/2"}$no es un$\pi/2$pulso, por lo tanto el$"\pi/2"$en eso.)

No equivalencia de las dos matrices

Lo que haces aquí es descomponer el unitario en$U'_{"\pi/2"}$y una segunda matriz unitaria de la forma

que también corresponde a un cambio de base de su vector de estado. Esto es equivalente a introducir una fase entre los dos estados de la base, o rotar la base de la esfera de Bloch en consecuencia. Sin embargo, si aplica dos pulsos$U_{"\pi/2"}$en fila,

ves que esto no es equivalente a dos aplicaciones consecuentes de$U_{"\pi/2"}'$obviamente.

Por qué tu$U_{"\pi/2"}$no es un$\pi/2$-legumbres

Volviendo a la pregunta por qué$U_{"\pi/2"}$aplicado dos veces no da un$\pi$-rotación. Esto es fácil de ver ahora simplemente multiplicándolo por sí mismo, produciendo una matriz con todas las entradas iguales en módulo$(\simeq \pm 1 \pm \mathrm i)$. Sin embargo, multiplicando$U_{"\pi/2"}'$consigo mismo da lo deseado$\pi$-pulso, que requiere tener sólo entradas fuera de la diagonal.

Entonces, ¿qué es entonces$U_{"\pi/2"}$realmente haciendo? Está llevando su vector de estado a un estado de superposición cuando comienza desde uno de los dos estados básicos. Pero además de una rotación alrededor de un eje en el plano ecuatorial, introduce una fase , que equivale a una rotación alrededor del plano ecuatorial.$z$-eje. Por lo tanto, su$U_{"\pi/2"}$es una combinación de un$\pi/2$-pulso alrededor, digamos, el$x$-eje con una rotación alrededor del$z$-eje. Una segunda rotación alrededor del$x$-eje entonces tiene un efecto diferente (aquí, si lo veo correcto, no hace nada, porque el vector es paralelo al eje de rotación), y la fase posterior (=rotación alrededor del$z$-eje) conduce a un estado final, que todavía está en el plano ecuatorial de la esfera de Bloch.

Físicamente, esta situación es similar a la de la frecuencia del campo de radiación que no resuena con la frecuencia de transición del sistema de dos niveles. Entonces, la transformación en la imagen de interacción no elimina el término$\sim \sigma_z$del sistema de dos niveles hamiltoniano, de modo que estos términos aparecen en el unitario, produciendo un cambio de fase que es proporcional a$\sim \Delta t$, dónde$\Delta$es la desafinación entre la frecuencia de radiación y la frecuencia de transición. Sin embargo, como señaló la otra respuesta , el límite de$t=0$produce algún cambio de fase instantáneo.

Como señalé en el comentario a continuación, esto no es afísico per se , pero puede acomodar un cambio de fase entre dos pulsos que, por ejemplo, es impuesto por el cambio de fase del campo de radiación,

que no puede ser descrito por un hamiltoniano de todos modos. La inclusión de tal cambio de fase puede parecer poco físico por no producir la transformación de identidad para$t \rightarrow 0$, pero de todos modos no puede describirse mediante una ecuación de Schrödinger, sino que debe considerarse como una especie de condición externa.

El problema con tu transformación