Ordenación y manchas normales

Leí en Wikipedia dos descripciones diferentes de la "representación Husimi-Q". Una es que es la función de Wigner convolucionada con una gaussiana, que en particular da como resultado una función definida positiva. La otra es que es "esencialmente" (sus palabras) la matriz de densidad puesta en orden normal. Tuve algunos problemas para entender por qué estos son iguales.

Por ejemplo, si dejamos H = ω a † a , entonces el estado térmico a temperatura inversa β es

ρ = norte Exp ⁡ ( − β H ) ,
que (si hice todo bien) órdenes normales para
: ρ := norte Exp ⁡ ( − β ′ H ) ,
dónde
β ′ = − registro ⁡ ( 1 − β ω ) / ω .
Esto me parece bastante patológico (ignorando el problema de que esta nueva matriz de densidad no parece estar normalizada): tenemos β ′ > β , por lo que el sistema está a una temperatura más fría, por lo que esperaría que la distribución en el espacio de fase sea "menos borrosa" en lugar de "más borrosa" (ciertamente, clásicamente esto es cierto), y en β ω = 1 tenemos un comportamiento singular: para cualquier temperatura más fría que ω , parece que el objeto que sacaremos asignará probabilidades negativas a ciertos estados.

¿Hice mal el cálculo? ¿Ordenar normalmente aquí significa algo diferente a empujar a está a la derecha de a † '¿s? ¿Existen otros contextos en los que podamos pensar en el ordenamiento normal como funciones de distribución difusas?

Respuestas (1)

Función Q y función P

La función Q de Husimi de una matriz de densidad ρ es definido por

q ρ ( α ) = 1 π ⟨ α | ρ | α ⟩
dónde
ρ = 1 π ∫ ρ jajaja ( α , α ∗ ) | α ⟩ ⟨ α | d α d α ∗
en los estados coherentes. PAG ρ ( α , α ∗ ) := 1 π ρ jajaja ( α , α ∗ ) es la función P de Glauber-Sudarshan . sigue con ⟨ β | α ⟩ = mi − β ∗ β / 2 − α ∗ α / 2 + β ∗ α eso
q ρ ( β ) = ∫ PAG ρ ( α , α ∗ ) ⟨ β | | α ⟩ ⟨ α | | β ⟩ d α d α ∗ = ∫ PAG ρ ( α , α ∗ ) mi − β ∗ β − α ∗ α + β ∗ α + β α ∗ d α d α ∗ = ∫ PAG ρ ( α , α ∗ ) mi − | β − α | 2 d α d α ∗

Ordenación normal y ordenación antinormal

Las órdenes naturalmente normales de la función Q ρ . Desde a | α ⟩ = α | α ⟩ , tenemos eso F ( a ) | α ⟩ = F ( α ) | α ⟩ y ⟨ α | F ( a † ) = ⟨ α | α ∗ , por lo que para un símbolo de orden normal F norte ( a , a † ) con todos los aniquiladores a la derecha y todos los creadores a la izquierda, tenemos ⟨ α | F norte ( a , a † ) | α ⟩ = F norte ( α , α † ) , y entonces

q ρ ( α ) = 1 π ρ norte ( α , α ∗ )

La función P naturalmente órdenes antinormales ρ . Expandir

ρ A ( a , a † ) = ∑ i , j ρ i , j a i ( a † ) j
e inserte la relación de completitud 1 = 1 π ∫ | α ⟩ ⟨ α | d α d α ∗ Llegar
PAG ρ ( α , α ∗ ) = 1 π ρ A ( α , α ∗ )

Lo que es un poco confuso es que esta prescripción de ordenamiento es exactamente opuesta a lo que hace con los observables. Se encuentra que los valores esperados ordenados antinormales se calculan con la función Q y los valores esperados ordenados normales se calculan con la función P, es decir

⟨ O A ( a , a † ) ⟩ = ∫ q ( α , α ∗ ) O A ( α , α ∗ ) d α d α ∗ ⟨ O norte ( a , a † ) ⟩ = ∫ PAG ( α , α ∗ ) O norte ( α , α ∗ ) d α d α ∗

¡Gracias! Todavía estoy un poco confundido: si ρ norte es normal ordenado, veo que ⟨ α | ρ norte ( a , a † ) | α ⟩ = ρ norte ( α , α ∗ ) , y para arbitrariamente ordenada ρ tenemos la definicion q ρ ( α ) = ⟨ α | ρ | α ⟩ , pero no veo cómo se relacionan. En particular, ⟨ α | ρ | α ⟩ no será necesariamente igual ⟨ α | : ρ : | α ⟩ , ¿bien? Disculpas si estoy siendo denso.
@commutatertot: Como operadores, ρ ( a , a † ) = ρ norte ( a , a † ) . no estoy usando : ρ : , lo cual es normal ordenar los operadores en él y simplemente descartar los términos que recoges de las relaciones de conmutación. Es decir : a a † := a † a , pero ( a a † ) norte = a † a + 1 .
Ah, ya veo; en mi pregunta estaba usando el tipo de orden normal "ignorar relaciones de conmutación". ¡Gracias!
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