Transformación de velocidad de Lorentz con notación tensorial [cerrado]

Question

Transformación de velocidad de Lorentz con notación tensorial [cerrado]

Lucas Polson

Así que estoy tratando de probar la transformada de velocidad de Lorentz:

{v_{X}}^{'} = \frac{v_{X} - tu}{1 - v_{X} tu / C^{2}}

${v_x}' =\frac{v_x-u}{1-v_xu/c^2}$

usando notación tensorial. En este caso obviamente $\beta = u/c$ y $\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$ . El tensor de transformación de velocidad se puede representar como

Λ = (\begin{matrix} γ & β γ & 0 & 0 \\ β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

asumiendo el marco reforzado $F'$ se mueve en la dirección x desde el marco $F$ . También estoy usando los siguientes dos hechos:

{\partial_{v}}^{'} = {Λ^{tu}}_{v} \partial_{tu} {X^{v}}^{'} = {(Λ^{- 1})^{v}}_{tu} X^{tu}

${\partial_v}' = {\Lambda^u}_v \partial_u \hspace{20mm} {x^v}'={(\Lambda^{-1})^v}_u x^u$

dónde

\partial_{tu} = (\frac{1}{C} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

$\partial_u = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$ .

Mi prueba comienza de la siguiente manera :

{v_{X}}^{'} = C {\partial_{0}}^{'} {X^{1}}^{'} = C ({Λ^{tu}}_{0} \partial_{tu}) ({(Λ^{- 1})^{1}}_{σ} X^{σ})

${v_x}' = c{\partial_0}'{x^1}' = c({\Lambda^{u}}_0 \partial_u)({(\Lambda^{-1})^{1}}_{\sigma}x^{\sigma})$

yo suelo $\sigma$ para mantener la suma separada. Ahora amplío:

{v_{X}}^{'} = C ({Λ^{0}}_{0} \partial_{0} + {Λ^{1}}_{0} \partial_{1}) ({(Λ^{- 1})^{1}}_{0} X^{0} + {(Λ^{- 1})^{1}}_{1} X^{1})

${v_x}' = c({\Lambda^{0}}_0 \partial_0+{\Lambda^{1}}_0 \partial_1)({(\Lambda^{-1})^{1}}_{0}x^{0}+{(\Lambda^{-1})^{1}}_{1}x^{1})$

Sustituyendo los elementos apropiados del tensor se obtiene:

{v_{X}}^{'} = C (γ \frac{1}{C} \frac{\partial}{\partial t} + β γ \frac{\partial}{\partial X}) (- β γ C t + γ X)

${v_x}' = c(\gamma \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}+\beta \gamma \frac{\partial}{\partial x})(-\beta \gamma c t+\gamma x)$

= C (- β γ^{2} \frac{\partial t}{\partial t} + \frac{γ^{2}}{C} \frac{\partial X}{\partial t} - β^{2} γ^{2} C \frac{\partial t}{\partial X} + β γ^{2} \frac{\partial X}{\partial X})

$=c(-\beta \gamma^2 \frac{\partial t}{\partial t}+\frac{\gamma ^2}{c}\frac{\partial x}{\partial t} - \beta^2\gamma^2c\frac{\partial t}{\partial x}+\beta \gamma^2 \frac{\partial x}{\partial x})$

en este punto hago la suposición (quizás incorrecta) de que $\partial t/\partial x=1/v_x$ . Cancelar los términos obvios me deja con

{v_{X}}^{'} = γ^{2} v_{X} - \frac{β^{2} γ^{2} C^{2}}{v_{X}}

${v_x}'=\gamma^2v_x -\frac{\beta ^2 \gamma^2 c^2}{v_x}$

que sé que es incorrecto.

Respuestas (3)

Transformación de velocidad de Lorentz con notación tensorial [cerrado]

eli · Answer 1

Ecuación de adición de velocidad de Einstein en el espacio de Minkowski

\begin{aligned} I) Queremos demostrar que la ecuación de adición de velocidad es: \\ v_{gramo} = \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + \frac{v_{1} v_{2}}{C^{2}}} \\ Tomamos la transformación de coordenadas entre (t^{'}, X^{'}) y (t, X) (c=1) \\ [\begin{matrix} t^{'} \\ X^{'} \end{matrix}] = \underset{L (v)}{\underset{⏟}{γ (v) [\begin{matrix} 1 & - v \\ - v & 1 \end{matrix}]}} [\begin{matrix} t \\ X \end{matrix}] \\ L (v) es la matriz de transformación de Lorentz. \\ II) tomamos una transformación de coordenadas adicional entre (t ", X ") y (t^{'}, X^{'}) obtenemos \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{I) We want to show that The velocity addition equation is:} \\ &v_g=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1\,v_2}{c^2}}\\ &\text{ We take the coordinate transformation between $(t'\,,x')$ and $(t\,,x)$ (c=1)}\\\\ &\begin{bmatrix} t' \\ x' \\ \end{bmatrix}=\underbrace{\gamma(v) \begin{bmatrix} 1 & -v \\ -v\ & 1\\ \end{bmatrix}}_{L(v)} \begin{bmatrix} t \\ x \\ \end{bmatrix}\\ &\text{$L(v)$ is the Lorentz transformation matrix.} \\\\ &\text{II) we take additional coordinate transformation between $(t"\,,x")$ and $(t'\,,x')$ we get } \end{align*}$

\begin{aligned} [\begin{matrix} t " \\ X " \end{matrix}] = L (v_{2}) [\begin{matrix} t^{'} \\ X^{'} \end{matrix}] = L (v_{2}) L (v_{1}) [\begin{matrix} t \\ X \end{matrix}] & = \underset{L (v_{1}, v_{2})}{\underset{⏟}{γ (v_{1}) γ (v_{2}) [\begin{matrix} 1 & - v_{1} \\ - v_{1} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - v_{2} \\ - v_{2} & 1 \end{matrix}]}} [\begin{matrix} t \\ X \end{matrix}] \\ = \underset{γ (v_{1}, v_{2})}{\underset{⏟}{γ (v_{1}) γ (v_{2}) (1 + v_{1} v_{2})}} [\begin{matrix} 1 & - \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + v_{1} + v_{2}} \\ - \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + v_{1} + v_{2}} & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{bmatrix} t" \\ x" \\ \end{bmatrix}=L(v_2) \begin{bmatrix} t' \\ x' \\ \end{bmatrix}= L(v_2)\,L(v_1)\, \begin{bmatrix} t \\ x \\ \end{bmatrix} &=\underbrace{\gamma(v_1)\,\gamma(v_2)\begin{bmatrix} 1 & -v_1 \\ -v_1\ & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -v_2 \\ -v_2\ & 1\\ \end{bmatrix}}_{L(v_1\,,v_2)} \begin{bmatrix} t \\ x \\ \end{bmatrix}\\ &=\underbrace{\gamma(v_1)\,\gamma(v_2)\,(1+v_1\,v_2)}_{\gamma(v_1\,,v_2)} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{v_1+v_2}{1+v_1+v_2} \\ -\frac{v_1+v_2}{1+v_1+v_2} & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align*}$

\begin{aligned} con: \\ γ (v_{1}, v_{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{1}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - v_{2}^{2}}} (1 + v_{1} v_{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{1} + v_{2}}{1 + v_{1} v_{2}})}^{2}}} \\ \Rightarrow \\ La matriz de transformación de Lorentz entre (t ", X ") y (t, X) es: \\ L (v_{1}, v_{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{gramo}^{2}}} [\begin{matrix} 1 & - v_{gramo} \\ - v_{gramo} & 1 \end{matrix}], con: \\ v_{gramo} = \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + \frac{v_{1} v_{2}}{C^{2}}} Ecuación de adición de velocidad de Einstein en el espacio de Minkowski \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{with:}\\\\ &\gamma(v_1\,,v_2)=\frac{1}{\sqrt{1-v_1^2}}\,\frac{1}{\sqrt{1-v_2^2}} (1+v_1\,v_2)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v_1+v_2}{1+v_1\,v_2}\right)^2}}\\\ &\Rightarrow\\ &\text{The Lorentz transformation matrix between $(t"\,,x")$ and $(t,x)$ is:}\\\\ &L(v_1,v_2)=\frac{1}{\sqrt{1-v_g^2}} \begin{bmatrix} 1 & -v_g \\ -v_g & 1 \\ \end{bmatrix}\quad, \text{with:}\\\\ &\boxed{v_g=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1\,v_2}{c^2}}}\quad \text{Einstein velocity addition equation in Minkowski space} \end{align*}$

jowadul kader · Answer 2

4-velocidad se define como

{tu}^{m} = \frac{d X^{m}}{d τ}

$u^{\mu}=\frac{dx^\mu}{d{\tau}}$

$\tau$ no cambia bajo transformación. Es el momento adecuado. así que en tu fórmula

v_{X^{'}} = C \partial_{0^{'}} X^{1^{'}}

$v_{x'}=c\partial_{0'}x^{1'}$ no es la forma correcta. ¿Ves el punto?

No quiere calcular la 4-velocidad. Quiere derivar la fórmula de la suma.

RC Drost · Answer 3

No estoy 100% seguro de que pueda obtener este resultado de esa manera, pero puede ser posible. El problema esencial es que en algún nivel estás usando una derivada que tiene que ver con campos, la $\nabla$ que obedece a las transformadas de Lorentz, pero está tratando de usarlo para analizar una sola línea mundial.

Al igual que la derivación tradicional no es demasiado difícil; el impulso de Lorentz conserva el origen y, por lo tanto, se puede tomar la relación de los componentes de 4 vectores $(ct, ~v_xt)$ para obtener la velocidad adimensional $v_x/c$ . Después del impulso que tienes $\gamma~(ct-uv_x t/c,~v_x t-ut)$ y la relación de esos componentes es solo la velocidad adimensional $(v_x-u)/(c-uv_x/c)$ como fue prometido.

Para su intento, probablemente llegaría a un lugar similar si lo hiciera correctamente. Ignora el $y,z$ direcciones y definir $w=ct$ y empezar con un campo $f$ viajando a velocidad constante,

ρ (w, X) = F (X - η w) .

$\rho(w, x)=f(x-\eta w).$ Entonces ciertamente puedes inspeccionar el gradiente para encontrar

\begin{aligned} \nabla_{w} ρ & = - η F^{'} (X - η w), \\ \nabla_{X} ρ & = F^{'} (X - η w) . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_w\rho&=-\eta f'(x-\eta w),\\ \nabla_x\rho&=f'(x-\eta w). \end{align}$ Entonces podemos encontrar de nuevo la velocidad

v_{x} = η c

$v_x=\eta~c$ como una proporción de estos componentes del covector.

Si comienza desde allí y calcula la misma proporción después de su transformación de Lorentz, debería obtener el resultado estándar sin su confusión.

Transformación de velocidad de Lorentz con notación tensorial [cerrado]

Lucas Polson

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eli

jowadul kader

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RC Drost

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