Pregunta sobre productos internos de tensores y convención de suma de Einstein

Así que estoy estudiando relatividad especial y cálculo tensorial básico y me quedé atascado en un ejercicio.

F m v := [ 0 − mi X − mi y − mi z mi X 0 − C B z C B y mi y C B z 0 − C B X mi z − C B y C B X 0 ]

Ahora la pregunta pide encontrar una expresión explícita para F v m . Mi intento es el siguiente:

F v m = gramo v ρ F m ρ = F m ρ gramo ρ v

Ahora desde aquí reconozco que esto es un producto punto entre F y gramo (el tensor métrico de Minkowski) por lo que el resultado debería ser:

∑ ρ = 0 3 ( F m ρ gramo ρ v )
Ahora, esto debería ser un producto escalar, ¿no (no una matriz?)? Sin embargo, la solución de mi profesor a la respuesta es la siguiente:
F v m = ( F ⋅ gramo ) v m = [ 0 mi X mi y mi z mi X 0 C B z − C B y mi y − C B z 0 C B X mi z C B y − C B X 0 ]

Sin embargo, me cuesta entender cómo un "producto escalar" entre F y gramo resultado en esa matriz.

Puede ser útil notar que con un producto escalar nunca se quedan con índices libres. ¿Es este el caso?
@jinawee sí, eso tiene sentido. Lo que me confunde es cómo la suma resultante se convierte en la matriz de 4x4 anterior, ¿cómo es eso posible?
F m ρ gramo ρ v es básicamente la multiplicación de matrices. Multiplicar dos matrices da una matriz.
@DanielSank, pero ¿cómo puede una suma dar lugar a una matriz? Esa es la principal confusión en mi mente.
Supongamos que tengo dos transformaciones lineales A y B . Si elijo una base tal que estas transformaciones tengan representaciones matriciales A i j y B i j . Ahora supongamos que definimos C = A B . los componentes de C son dados por C a b = ∑ i A a i B i b . Por supuesto, los tensores son un poco diferentes a la imagen de matriz simple porque distinguimos los índices superior e inferior, pero puede averiguarlo desde aquí.
@ daljit97 - Tienes una suma para cada valor de m y v . Así es como se obtiene una matriz.
He agregado la etiqueta de tarea y ejercicios. En el futuro, utilice esta etiqueta en este tipo de pregunta.

Respuestas (3)

Ahora desde aquí reconozco que esto es un producto punto entre F y gramo .

Es muy difícil escribir una respuesta sin conocer tus conocimientos matemáticos. En mi opinión, los que respondieron antes que yo abordaron la dificultad haciendo algunas conjeturas, una diferente de la otra.

Me impresionó que hablaras de un "producto escalar". Aparentemente, nunca has visto la multiplicación de matrices por filas y columnas. Si no tuviste un curso de álgebra lineal, no puedo entender cómo puedes seguir el cálculo tensorial. Pero quiero ser positivo, así que te daré algunas pistas, sin simplificar demasiado el asunto, que no te ayudarían.

@DanielSank dijo con razón eso F m ρ gramo ρ v es (básicamente) un producto de matriz. Su respuesta mostró que esto era nuevo para usted. ¿no fue así?

Bueno, las matrices se pueden multiplicar (fila por columna) si solo el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. En tu caso, está bien, ya que todos estos números son 4. Y la definición de multiplicación de matrices es exactamente lo que está escrito en la expresión F m ρ gramo ρ v , que con la convención de Einstein es una abreviatura de

∑ ρ = 0 , 3 F m ρ gramo ρ v .
El resultado es un 4 × 4 matriz, con índices m alto y v bajo.

En el caso real, el cálculo se hace más simple como gramo es diagonal , de modo que dado v sólo hay un término en la suma: el que tiene ρ = v . Sólo tienes que recordar que los cuatro componentes diagonales de gramo ρ v no son todos = 1 . Supongo que te han enseñado gramo 00 = − 1 .

Estás sumando matrices en tu expresión. Si A y B son matrices, por lo que es A + B . cada elemento F m ρ gramo ρ v es un matix en sí mismo. Para cualquier dado ρ , digamos ρ = 0 tendrías F m 0 , que es un vector columna, y gramo 0 v que es un vector fila. Puedes ver por multiplicación de matrices básica que ( ∗ ∗ ∗ ) ( ∗ ∗ ∗ ) es una matriz, este es el producto exterior y es lo que tienes en cada término de tu suma, lo estás confundiendo con ( ∗ ∗ ∗ ) ( ∗ ∗ ∗ ) , que es el producto interno, y te devolvería un número.

Recuerdo quedarme obsesionado con mis nociones intuitivas de manipulación de tensores cuando era estudiante. Las imágenes geométricas (p. ej., multiplicación de matrices, productos escalares, etc.) son útiles, pero a veces solo necesita sentarse y calcular para ver cómo funcionan las cosas.

tienes razón en eso F     v m = gramo v ρ F m ρ . Claramente, este objeto tiene dos índices de espacio-tiempo (uno arriba, uno abajo) lo que significa que es un objeto con 16 componentes.

m = 0 , v = 0 ⟹ F     0 0 = ∑ ρ = 0 3 gramo 0 ρ F 0 ρ = gramo 00 F 00 + gramo 01 F 01 + gramo 02 F 02 + gramo 03 F 03 = 0

m = 0 , v = 1 ⟹ F     1 0 = ∑ ρ = 0 3 gramo 1 ρ F 0 ρ = gramo 10 F 00 + gramo 11 F 01 + gramo 12 F 02 + gramo 13 F 03 = ( − 1 ) ( − mi X ) = mi X

así sucesivamente y así sucesivamente. En este punto, probablemente ya hayas notado que la mayoría de los términos van a desaparecer porque gramo v ρ es cero si v ≠ ρ (en el espacio-tiempo de Minkowski, es decir, para métricas más generales, esto no es cierto).

Una vez que ve los patrones e identifica las simetrías, este trabajo se vuelve más rápido, pero creo que es más útil realizar el trabajo paso a paso primero, y dejar que la velocidad y los atajos lleguen con la práctica.

¿Hay alguna manera de obtener el resultado simplemente haciendo la multiplicación de matrices "normal"? he notado el F T gramo me da la respuesta correcta, pero no entiendo por qué es este el caso.
Sí. La multiplicación de matrices normal sigue la regla ( A ⋅ B )     j i = ∑ k A     k i B     j k por lo tanto, si organiza dos tensores de segundo rango para contraer el segundo índice del primero con el primer índice del segundo, el resultado puede considerarse como una multiplicación de matrices normal. Sin embargo, tenga en cuenta que esto (obviamente) no funciona para tensores con rango superior a 2, y no funciona para contracciones dentro de un solo tensor (como R     norte tu m σ m , que aparece en GR). Tampoco sigue las reglas de transformación familiares bajo cambios de base [...]
[...] a menos que cada uno de sus tensores tenga un índice superior y un índice inferior.
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