¿Cómo evaluar ∂u(x2xv)∂u(x2xv)\partial_u(x^2 x_v)?

En general, primero se escribe el término completamente,

$$\partial_u (x^2 ~x_v) = \partial_u (\eta_{mn}~\eta_{vt}~x^m~x^n~x^t),$$ entonces uno se expande con la regla del producto, $$\begin{align} \partial_u (x^2 ~x_v) =~& (\partial_u \eta_{mn})~\eta_{vt}~x^m~x^n~x^t + \eta_{mn}~(\partial_u \eta_{vt})~x^m~x^n~x^t + ~\\ & \eta_{mn}~\eta_{vt}~(\partial_u x^m)~x^n~x^t + \eta_{mn}~\eta_{vt}~x^m~(\partial_u x^n)~x^t +\eta_{mn}~\eta_{vt}~x^m~x^n~(\partial_u x^t). \end{align}$$ Tenga en cuenta que en la relatividad especial los dos primeros términos son cero porque el tensor métrico $\eta$es constante en el espacio-tiempo. (En relatividad general $\eta$se convierte $g$y $\partial$se convierte $\nabla$y estos términos aún se desvanecen, pero eso solo es cierto porque elegimos una conexión específica que los hace desaparecer).

Aparte de$\partial_{\bullet} \eta_{\bullet\bullet} = 0$también podemos simplificar los últimos tres términos porque tenemos que$\partial_a x^b = \delta_a^b,$el delta de Kronecker . Esto obliga en el primero de los tres a una identificación$u=m$, por lo que uno obtiene$x_u x_v$para el primer término, por ejemplo.

Tenga en cuenta que su intuición visceral, que es que$\partial_u$está seleccionando sobre qué actuar por su índice, es totalmente incorrecto aquí y debe abandonarse.$\partial_\bullet$es un gradiente de espacio-tiempo, punto final. Se aplica a los tres$x$términos que se refieren todos a la posición del espacio-tiempo. Sucede que tiene un índice más bajo, porque los gradientes espaciales siempre producen covectores, y el índice más bajo identifica que se trata de un campo de covectores, no de un campo escalar.

Primero introducimos una nueva variable ficticia para$x^2=x^\rho x_\rho$. Entonces tenemos

$$\partial_\mu(x^2x_\nu)=\partial_\mu(x^\rho x_\rho x_\nu).$$

Entonces usamos$\,\partial_\mu x^\rho=\delta_\mu^\rho\,$y$\,\partial_\mu x_\rho=\eta_{\mu\rho}\,$para obtener

$$\begin{align} \partial_\mu(x^2x_\nu)&=\delta_\mu^\rho x_\rho x_\nu+x^\rho\eta_{\mu\rho}x_\nu+x^\rho x_\rho\eta_{\mu\nu}\\ &=2x_\mu x_\nu+x^2\eta_{\mu\nu}, \end{align}$$

suponiendo relatividad especial entonces$\,\eta_{\mu\nu}\,$es constante