¿Cómo derivo la contracción de Lorentz del intervalo invariante?

Question

¿Cómo derivo la contracción de Lorentz del intervalo invariante?

danu

Mientras revisaba algo de relatividad especial básica, me topé con este problema:

De la definición del tiempo propio:

C^{2} d τ^{2} = C^{2} d t^{2} - d X^{2}

$c^2d\tau^2=c^2dt^2-dx^2$ Pude derivar la fórmula de dilatación del tiempo usando

x = v t

$x=vt$ :

C^{2} d τ^{2} = C^{2} d t^{2} - v^{2} d t^{2} = C^{2} d t^{2} (1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}) \to d τ = d t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}} = d t / γ

$c^2d\tau^2=c^2dt^2-v^2dt^2=c^2dt^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\rightarrow d\tau = dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=dt/\gamma$

Ahora, me gustaría mucho poder derivar la fórmula de contracción de longitud de una manera similar, y creo firmemente que esto debería ser posible. La definición del intervalo invariante es:

d s^{2} = d X^{2} - C^{2} d t^{2}

$ds^2=dx^2-c^2dt^2$ usando

t = \frac{x}{v}

$t=\frac{x}{v}$ Lo intenté:

d s^{2} = d X^{2} - \frac{C^{2}}{v^{2}} d X^{2} = d X^{2} (1 - \frac{C^{2}}{v^{2}}) \to d s = d X \sqrt{1 - \frac{C^{2}}{v^{2}}}

$ds^2=dx^2-\frac{c^2}{v^2}dx^2=dx^2\left(1-\frac{c^2}{v^2}\right)\rightarrow ds=dx\sqrt{1-\frac{c^2}{v^2}}$

Aquí es donde estoy atascado: no veo cómo se puede convertir esto en un factor de Lorentz...

Cualquier ayuda que me permita llegar al resultado deseado. $ds=\gamma dx$ Sería muy apreciado.

jerry schirmer

La forma más limpia de hacer esto es generalizar el

2 - D

$2-D$ rotación a un

2 - D

$2-D$ rotación hiperbólica reemplazando todos sus senos y cosenos por senos y cosenos hiperbólicos, y luego haciendo la definición

v / c = \tanh ϕ

$v/c = \tanh \phi$ , y usándolo para eliminar su ángulo de rotación. Los resultados simplemente aparecerán.

Respuestas (1)

¿Cómo derivo la contracción de Lorentz del intervalo invariante?

La forma más limpia de hacer esto es generalizar el $2-D$ rotación a un $2-D$ rotación hiperbólica reemplazando todos sus senos y cosenos por senos y cosenos hiperbólicos, y luego haciendo la definición $v/c = \tanh \phi$ , y usándolo para eliminar su ángulo de rotación. Los resultados simplemente aparecerán.

Juan Rennie · Answer 1

Supongamos que tenemos una barra de longitud $l$ en reposo en el marco sin imprimar y vemos a un observador en el marco imprimado que pasa a toda velocidad:

marcos

Tomaremos los orígenes en ambos marcos para que coincidan cuando el observador en el marco imprimado pasa el primer extremo de la barra, por lo que el Evento A es $(0, 0)$ en ambos marcos.

En el marco sin imprimar, el otro extremo de la varilla está en $x = l$ , y vemos que el observador veloz lo pasa en $t = l/v$ , por lo que el evento B es $(l/v, l)$ . El intervalo entre estos eventos es por lo tanto:

s^{2} = \frac{C^{2} {yo}^{2}}{v^{2}} - {yo}^{2}

$s^2 = \frac{c^2l^2}{v^2} - l^2$

En el marco preparado, el observador estacionario ve la barra, de longitud $l'$ viniendo hacia él a toda velocidad $v$ . Él $x$ la coordenada de ambos eventos es cero, y el tiempo del evento B es $t = l'/v$ , entonces el intervalo es:

s^{' 2} = \frac{C^{2} {yo}^{' 2}}{v^{2}}

$s'^2 = \frac{c^2 l'^2}{v^2}$

Los intervalos deben ser los mismos, $s^2 = s'^2$ , asi que:

\frac{C^{2} {yo}^{' 2}}{v^{2}} = \frac{C^{2} {yo}^{2}}{v^{2}} - {yo}^{2}

$\frac{c^2 l'^2}{v^2} = \frac{c^2l^2}{v^2} - l^2$

y un reordenamiento rápido da:

{yo}^{' 2} = {yo}^{2} (1 - \frac{v^{2}}{C^{2}})

$l'^2 = l^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right)$

{yo}^{'} = yo \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}} = \frac{yo}{γ}

$l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } = \frac{l}{\gamma}$

Respuesta al comentario:

Para calcular la dilatación del tiempo, usa un par de eventos diferentes. En el marco sin imprimar tienes un reloj, marcando con punto $T$ , estacionario en el origen. Entonces los eventos para el primer y segundo tick son $(0, 0)$ y $(T, 0)$ . El intervalo $s^2 = c^2 T^2$ .

Como de costumbre, elegimos el marco imprimado para que los orígenes de los marcos coincidan, y la primera marca está en $(0, 0)$ . La segunda marca está en $t = T'$ , y debido a que el reloj se mueve a una velocidad $v$ , la $x$ la coordenada del segundo tick es $x = vT'$ donación $(T', vT')$ . El intervalo es por lo tanto $s^2 = c^2T'^2 - v^2T'^2$ .

Como antes, igualamos los intervalos así:

C^{2} T^{2} = C^{2} T^{' 2} - v^{2} T^{' 2}

$c^2 T^2 = c^2T'^2 - v^2 T'^2$

o:

T^{' 2} = T^{2} \frac{C^{2}}{C^{2} - v^{2}}

$T'^2 = T^2 \frac{c^2}{c^2 - v^2}$

Ahora solo divida la parte superior e inferior del RHS por $c^2$ y saque la raíz cuadrada para obtener:

T^{'} = T \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}

$T' = T \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Pregunta estúpida, pero ¿por qué asumes en el cuadro principal que la longitud es l 'y la velocidad es v? ¿Por qué no la longitud de l y la velocidad de v'?
>El intervalo entre estos eventos es por lo tanto: 𝑠2=𝑐2𝑙2𝑣2−𝑙2 ¿Por qué al cuadrado?

¿Cómo derivo la contracción de Lorentz del intervalo invariante?

danu

jerry schirmer

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Juan Rennie

Tomás

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