Supercarga en N=1N=1\mathcal{N}=1 mecánica cuántica supersimétrica y el teorema de Noether

Considera el$0+1$Lagrangiano dimensional

$$L=\frac{1}{2}\dot{X}^2(t)+i \psi(t) \dot{\psi}(t).\tag{1.24}$$

Esencialmente, este es el Lagrangiano de una partícula que se mueve en una dimensión,$X$, con un grado adicional de libertad$\psi$. Esto se puede considerar como un Lagrangiano para una partícula giratoria que se mueve en una dimensión.

Defina las transformaciones de supersimetría (y piense en$\delta$como operador fermiónico en los campos) como

$$\delta X=2i \epsilon \psi\tag{1.28a}$$ y $$\delta \psi=- \epsilon \dot{X}.\tag{1.28b}$$

Señalando que$\psi$y$\delta$anticonmutación,$X$y$\delta$viajar, y también que$\delta$es un operador lineal, podemos ver fácilmente que

$$\delta L = i \epsilon \frac{d}{dt}(\psi \dot{X}).\tag{1.29}$$

Por lo tanto, la acción es invariante ya que el Lagrangiano cambia solo por una derivada total, bajo la transformación anterior. La 'corriente' conservada (de hecho, en una dimensión es la carga conservada) da, por el teorema de Noether,

$$\epsilon Q=\frac{\partial L}{ \partial \dot{X}} \delta X+\frac{\partial L}{ \partial \dot{\psi}} \delta \psi-i \epsilon \psi \dot{X}=2i\epsilon \dot{X} \psi-i \epsilon \dot{X} \psi-i \epsilon \psi \dot{X}=0!\tag{1}$$

Así que el cargo resulta ser trivial. Sin embargo, en estas notas, en la ecuación (1.30) se afirma que la sobrealimentación es, de hecho,

$$Q=\psi \dot{X}.\tag{1.30}$$

¿Qué me estoy perdiendo?