Cálculo de la acción (sobre la cáscara) de una partícula libre

Use la integración por partes y el hecho de que para una partícula libre$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0$. Además, sabes que la velocidad es constante, por lo que también puedes resolver la primera parte.

Además, puede utilizar una especie de cambio de variables.$\int_a^b \dot{x}^2 dt = \int_a^b v^2 dt = v^2 \int_a^b dt = v^2({t_b}-{t_a})$donde la última parte usa el hecho de que v es constante para que una línea la saque de la integral. El resultado sigue.

Lo que puede ser frustrante es partir de la idea de que estamos calculando la acción general de cualquier camino que conecte$x_a$y$x_b$. Entonces es cuando te encuentras con la expresión incómoda$S = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} \dot{x}^2 dt =\frac{m}{2}\{[x \dot{x}]_{t_a}^{t_b}-\int_{t_a}^{t_b}x\ddot{x} dt\}$

Sin embargo, todavía podemos escribir tal acción general como$S = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} \dot{x}^2 dt = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} [\frac{dx}{dt}|_{x=x_a}+\frac{d^2x}{dt^2}|_{x=x_a} {\small(t-t_a)}+\frac{1}{2!}\frac{d^3x}{dt^3}|_{x=x_a}{\small(t-t_a)^2}+o(|{\small t}|^3)]^2 {\small dt}$

Para la trayectoria clásica que minimiza$S$, obtenemos

$S_{\scriptsize\mbox{min}}=S_{\scriptsize\mbox{cl}}=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} [\frac{dx}{dt}|_{x=x_a}]^2 dt$

a partir de la cual es sencillo obtener el resultado dado. Así que todo esto es para enfatizar la diferencia entre$S$y$S_{{\scriptsize\mbox{cl}}}$