Transformación de cuatro velocidades en relatividad especial

La respuesta de Timeo podría ser correcta. El$\Lambda$La matriz de su libro puede haber sido pensada como una transformación pasiva (una que actúa sobre el sistema de coordenadas) y usted la usó por error como una transformación activa (una que actúa sobre el objeto). Alternativamente, el$\Lambda$La matriz de su libro puede haber sido concebida como la transformación activa de un co-vector y mi respuesta a continuación aborda eso.

Debido a que los impulsos no son matrices ortogonales, debe pensar en las diferentes formas en que se transforman los covectores y los contravectores. El$\Lambda$matriz que anotó es el impulso +v para un co-vector. Luego lo aplicó a un vector e interpretó incorrectamente el resultado como si fuera un contravector. El co-vector$U_\alpha$con velocidad +v realmente tiene$-v\gamma$en él como lo encontraste. Debes elevar el índice de U con la métrica para ver cuál es la contravariante$U^\beta$es, y ve el +v que esperaba.

$$U^\beta = \eta^{\beta \alpha}U_\alpha$$ $$\begin{bmatrix}\gamma \\v\gamma \\0 \\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\gamma \\-v\gamma \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$$

Un contra-vector se transforma como

$$Unew^\alpha = \Lambda^\alpha _{-\beta} Uold^\beta$$ Entonces un co-vector se transforma como $$Unew_\alpha = Uold_\beta(\Lambda^{-1})^\beta _{-\alpha}$$

Esta matriz potencia los contravectores en +v. He redefinido tu$\Lambda$ser la matriz que da un impulso +v a un contra-vector.

$${\Lambda=\begin{bmatrix}\gamma & v\gamma & 0 & 0 \\ v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

$$\begin{bmatrix}\gamma \\v\gamma \\0 \\0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\gamma & v\gamma & 0 & 0 \\ v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Esta matriz potencia los covectores en +v.

$${(\Lambda^{-1})^T=\begin{bmatrix}\gamma & -v\gamma & 0 & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

$$\begin{bmatrix}\gamma \\-v\gamma \\0 \\0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\gamma & -v\gamma & 0 & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Observe que las rotaciones R son ortogonales, lo que significa$(R^{-1})^T=R$y las transformaciones para co-vectores y contra-vectores son las mismas. Por lo tanto, no hablamos de co-vectores y contra-vectores cuando hacemos rotaciones.

Lo primero que me molesta es que para positivo${v}$Obtengo la componente negativa del vector velocidad.

Si su objeto estaba en reposo, para alguien que se mueve hacia la derecha, el objeto en reposo se está moviendo hacia la izquierda en su marco.

En cuanto a la segunda pregunta, es el mismo problema. Alguien en reposo se moverá hacia la izquierda en relación con alguien que se mueva más rápido que 0.6c hacia la derecha.