"Vectores", es decir (1,0)-tensores, su definición y motivación para la relatividad

Hagamos esto sistemáticamente: (Debo admitir que la parte de su pregunta con "demostrar que$p'$no es un vector si$p$is" realmente no tenía sentido para mí, así que decidí mostrarte cómo se definen realmente los vectores en GR y cómo funcionan realmente las transformaciones. Siéntete libre de decirme que me ocupe de mis propios asuntos si esto no es lo que estás buscando;) )

Dejar$\mathcal{M}$sea ​​nuestra variedad de espacio-tiempo (piense$\mathbb{R}^4$). Dejar$p \in \mathcal{M}$ser un punto y$x,y : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}^4$estar coordinado en$\mathcal{M}$, es decir, la tupla de 4$(x^0(p),x^1(p),x^2(p),x^3(p))$y$(y^0(p),y^1(p),y^2(p),y^3(p))$representan el mismo punto. En el punto$p$, definimos el espacio vectorial tangente $T_p\mathcal{M}$ser atravesado por las derivadas parciales con respecto a las coordenadas, es decir, tenemos el espacio de combinaciones lineales

$$T_p\mathcal{M}[x] := \left\{\sum_{\mu = 0}^3 c^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} | c^\mu \in \mathbb{R}\right\}$$

y los coeficientes$c^\mu$son lo que normalmente llamamos componentes de nuestro vector. Si decimos que alguna tupla$(v^0,v^1,v^2,v^3)$es un vector, por definición queremos decir que representa el vector$\sum_\mu v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$en algún punto entendido (a menudo tácitamente).

Una transformación de coordenadas ahora viene dada por$y \circ x^{-1}$, a menudo denotado$y(x)$por abuso de notación. Ahora, nuestros vectores deben expresarse en derivadas con respecto a las nuevas coordenadas$y^\mu$. Por la regla de la cadena,$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}\frac{\partial}{\partial y^\nu}$, por lo que los coeficientes transformados son

$$c'^\mu = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu} c^\nu$$

Esta es la ley de transformación para vectores . Si su transformación de coordenadas es solo una matriz constante como una rotación o una transformación de Lorentz,$\frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu}$son solo los componentes de su matriz. Dado que nuestros vectores en un punto viven por definición en el espacio tangente, se transforman por definición así.

Un escalar es cualquier cantidad que no se transforma bajo la transformación de coordenadas de ninguna manera o, de manera equivalente, en la que cualquier transformación toma la forma de la identidad. Obviamente, los vectores no son escalares. El "espacio de escalares" en un punto es simplemente$\mathbb{R}$(o$\mathbb{C}$, dependiendo de su preferencia), es decir, números que no cambian bajo transformaciones de coordenadas.

Ahora, ¿cómo construimos escalares a partir de vectores? Definimos el espacio vectorial dual o espacio cotangente a generar por las diferenciales$\mathrm{d}x$, es decir

$$T^*_p\mathcal{M}[x] := \left\{\sum_{\mu = 0}^3 \omega_\mu \mathrm{d}x^\mu\right\}$$

y, nuevamente por la regla de la cadena, estos ahora se transforman exactamente inversamente a vectores, es decir

$$\omega'_\mu = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\omega_\nu$$

Ahora, en GR, hay una métrica en el espacio-tiempo dada por coeficientes$g_{\mu\nu}$. Dado un vector $c^\mu$, definimos su vector dual como$c_\mu := \sum_\nu g_{\mu\nu}c^\nu$. Ahora, dada cualquier tupla como vector$c^\mu$, podemos formar el producto escalar

$$(c,c) = \sum_\mu c^\mu c_\mu$$

Para cualquier transformación de coordenadas dada, puede verificar fácilmente que las derivadas incurridas de las transformaciones del vector y el covector se cancelan, y que esto es de hecho invariante bajo transformaciones de coordenadas y, por lo tanto, es un escalar.

EDITAR : para considerar ahora una clase general de los ejemplos que parece que se le pide que mire, observe que, para los vectores$p^\mu$,$q^\nu$en el sentido anterior, tuplas como$(p^0 q^0, p^1,p^2,p^3)$no pueden ser vectores, ya que las primeras componentes se transformarían dos veces con respecto a la transformación de coordenadas, mientras que las otras solo se transformarían una vez, pero la ley de los vectores dice que todas las componentes se transforman de la misma manera, y exactamente de la forma indicada anteriormente.

Solo quería comentar a qué creo que se dirige la pregunta del libro de Zee. No creo que esta pregunta de Zee sea una pregunta particularmente buena, y creo que la respuesta de ACuriousMind es excelente y llega a los puntos reales que debería intentar aprender. Así que esto se escribe simplemente con el fin de tratar de aclarar el libro de Zee, en lugar de tratar de dar una respuesta competitiva a esta pregunta.

Digamos que tenemos un vector$\vec{p}$que se expresa en alguna base (llamémosla la 'base no imprimada') como$\vec{p}=p_1 \hat{e}_1 + p_2 \hat{e}_2$. podemos expresar$\vec{p}$en una nueva base formada por la rotación de un ángulo$\theta$(esta es una vista 'pasiva' de las rotaciones)

$$\begin{equation} \vec{p} = p_1'\hat{e}_1' + p_2' \hat{e}_2' = \left(p_1\cos\theta+ p_2 \sin \theta \right)\hat{e}_1' + \left(-p_1 \sin \theta + p_2 \cos \theta \right) \hat{e}_2' \end{equation}$$ Hasta ahora, todo bien.

Ahora definamos un objeto$\vec{q}$, que tiene los siguientes componentes en la base no prima:

$$\begin{equation} \vec{q}=q_1 \hat{e}_1 + q_2 \hat{e}_2 = a p_1 \hat{e}_1 + b p_2 \hat{e}_2 \end{equation}$$

Ahora con el fin de$\vec{q}$para ser un vector debe ser el expresado en base prima, tiene la forma

$$\begin{equation} \vec{q} = \left(a p_1 \cos \theta + b p_2 \sin \theta\right)\hat{e}_1' + \left(- a p_1 \sin \theta + b p_2 \cos \theta \right)\hat{e}_2' \end{equation}$$

Hasta el momento no hay problema para ningún valor de$a$o$b$. En una base fija, los componentes de un vector pueden tener cualquier valor que deseen, por lo que también podría llamar a los componentes de$\vec{q}$en la base sin imprimar$a p_1$y$b p_2$. Es solo una parametrización de aspecto extraño de un vector arbitrario en la base no imprimada. Siempre que, después de una rotación,$\vec{q}$tiene el formulario de arriba, entonces todo está bien.

Creo que el punto al que Zee está tratando de llegar con su pregunta puede expresarse así: en la base principal,

$$\begin{equation} \vec{q} \neq a p_1' \hat{e}_1' + bp_2' \hat{e}_2' \end{equation}$$ a menos que $a=b$.

En otras palabras, aunque en el marco original es cierto que$q_1 = a p_1$y$q_2= b p_2$, en el marco rotado ciertamente no es cierto que$q_1' = a p_1'$y$q_2' = b p_2'$.

Por supuesto, esto es completamente obvio si solo rotas$\vec{q}$, entonces ves claramente que$q_1' = ap_1 \cos \theta + b p_2 \sin \theta \neq a (p_1 \cos \theta + p_2 \sin \theta) = a p_1'$.

Creo que el punto más importante al que Zee está tratando de llegar es que solo debe confiar en las relaciones vectoriales, no en las relaciones entre componentes:$q_1 = a p_1$no es una relación "buena" porque sólo es cierta en un marco específico.

La única excepción a esto es si$a=b$; en otras palabras, si resulta que si todos los componentes de dos vectores son proporcionales en algún marco, entonces en realidad tienes una declaración de vector$\vec{q}=a\vec{p}$que entonces será cierto en cualquier marco. Este hecho se usa con frecuencia en GR: para mostrar que dos tensores son iguales, solo necesita mostrar que son iguales en algún marco, por lo que a menudo elige el marco más simple posible en el que evaluar los tensores.

Sin embargo, en mi opinión, esta es una mala pregunta (o al menos mal formulada). No hay nada malo con$\vec{q}$siendo un vector para cualquier valor de$a$y$b$, el verdadero problema es que$q_1=ap_1$no es una declaración covariante, y eso no estaba muy claro en la pregunta original.