4-velocidades en diferentes marcos

He intentado hacerlo de la siguiente manera, pero no sé si puedo usar la regla del producto como tal cuando se trata de matrices y vectores.

$$\begin{equation*} U'=\frac{dX'}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\Lambda{X}=\frac{d\Lambda}{d\tau}X+\Lambda\frac{dX}{d\tau}=\Lambda\frac{dX}{d\tau}=\Lambda{U} \end{equation*}$$

desde la matriz de transformación de Lorentz$\Lambda$es independiente del tiempo adecuado$\tau$.

Si no se siente cómodo con las matrices y los vectores, elija un marco arbitrario de vectores unitarios ortogonales$\vec e_0,$ $\vec e_1,$ $\vec e_2,$y$\vec e_3.$Entonces$\vec X=\sum_\mu X^\mu \vec e_\mu.$También puede elegir un marco arbitrario potencialmente diferente de vectores unitarios ortogonales$\vec e'_0,$ $\vec e'_1,$ $\vec e'_2,$y$\vec e'_3.$Entonces$\vec X=\sum_\mu X'^\mu \vec e'_\mu.$Ahora la transformación de Lorentz es una transformación de coordenadas que envía la tupla de cuatro números$(X^0,X^1,X^2,X^3)$a una tupla de cuatro números posiblemente diferente$(X^{'0},X^{1'},X^{2'},X^{'3}).$

Y para ser totalmente claro, un vector es un objeto geométrico que apunta en una dirección particular, de un cuándo-dónde a otro cuándo-dónde. Y la tupla cuatro es solo otra forma de escribir el vector, cuatro instancias que puedes escribir$X=(X^0,X^1,X^2,X^3)$en lugar de escribir$\vec X= X^0 \vec e_0+X^1 \vec e_1+X^2\vec e_2+X^3 \vec e_3.$Y podrías escribir$(X^{'0},X^{1'},X^{2'},X^{'3})$en lugar de escribir$X^{'0}\vec e'_0+X^{1'}\vec e'_1+X^{2'}\vec e'_2+X^{'3}\vec e'_3.$

Todo lo que está haciendo es elegir una base diferente para escribir el mismo vector como una tupla de 4 números. Diferentes cuatro tuplas, mismo vector. Y una ventaja de esto es precisamente evitar tener que aprender a manejar vectores y matrices. En cambio, puedes notar que$X^{'\mu}=\sum_\nu\Lambda^{\mu}_{\nu}X^\nu,$donde todo en esa ecuación es un escalar. Entonces puedes diferenciarte.

Ahora, esa es una ecuación para escalares y solo está relacionada con la diferenciación de vectores, ya que la elección de los vectores base apunta literalmente en la misma dirección y magnitud para cada momento y cada lugar. De lo contrario, necesita aprender a diferenciar vectores. Pero la regla del producto sí se aplica.

Siento que esta es una de esas pruebas que parece funcionar con demasiada facilidad.

Podría diferenciar un vector sobre la base xy en comparación con el$\theta, r$En base a que desea algo más complicado, debe aprender eso antes de pasar a la relatividad general.

• lo que es más importante, no ofrece ninguna idea de por qué$\tau$es un buen parámetro para usar en lugar del tiempo$t$observado en$S$.

Ahora que sabes que es el mismo vector, solo que expresado en dos bases diferentes, puedes ver que no tendría ningún sentido diferenciarlo con respecto a alguna base aleatoria como si fuera mejor que cualquier otra base. Realmente podría diferenciarlo con respecto a cualquier base ortonormal y luego hacer un vector de longitud unitaria al final y eso está bien. Porque está encontrando la tangente a la línea del mundo, y cuando parametriza por tiempo adecuado, está escalando la tangente para tener una longitud unitaria.

Nuevamente, puede volver al cálculo en un plano euclidiano plano y descubrir cómo calcular una unidad tangente a una curva y una forma es parametrizarla por longitud de arco y luego diferenciarla con respecto a la longitud del arco.

Y eso no es complicado, la derivada es solo una diferencia de vectores dividida por un escalar. Cuando ese escalar es la longitud (tiempo adecuado), entonces simplemente ha creado un vector unitario que apunta entre ellos. Eso es todo lo que está pasando.

Hay dos preguntas diferentes que no están relacionadas entre sí.

El primero es cómo se define la 4-velocidad. Por definición, las velocidades son flujos tangentes en una variedad diferencial, por lo tanto, se deben tomar derivadas con respecto al parámetro que está usando para describir el flujo. En el contexto de la relatividad especial, dicho parámetro es la longitud adecuada$s$(o el momento adecuado$\tau$, las dos difieren en un factor constante, por lo que puede repararmetrizar todo el conjunto de ecuaciones para obtener la primera a partir de la última). El tiempo estándar$t$es una variable en la variedad, ya no es el parámetro con el que describe los flujos, por lo tanto, no tiene derechos para ser promovido como derivado. Tenga en cuenta que esto no está relacionado con cuán "desordenadas" (según su terminología) serán las ecuaciones finales. Las cosas pueden estar desordenadas pero aún correctas, o viceversa.

La segunda pregunta es cómo se transforman estas 4 velocidades en diferentes marcos de referencia. Una vez que tenga la definición, puede tomar derivados como lo hizo anteriormente (método de fuerza bruta) o puede usar enfoques más sofisticados de cálculo vectorial que muestran cómo los componentes de los vectores tangentes se transforman entre los gráficos de una variedad una vez que corrige una transformación de coordenadas subyacente: los resultados serán los mismos.

Tu prueba es completamente correcta. La relatividad no tiene por qué ser difícil :)

Para ser claros, los pasos en su prueba son simplemente la definición de$U'$, la definición de$X'$, la regla del producto, la constancia de$\Lambda$, y la definición de$U$, respectivamente. No hay nada de malo en ninguno de estos pasos.

En cuanto a por qué$\tau$y no$t$:$\tau$se define en base a la línea de tiempo de tal manera que no varía entre los sistemas de coordenadas. Es decir, si estoy trabajando en$S$o$S'$, un evento particular en la línea de tiempo de la partícula ocurrirá en un momento adecuado particular$\tau$. Por otro lado, sucederá en el tiempo coordinado.$t$en$S$y en$t' \neq t$en$S'$. Así que al usar$\tau$en primer lugar, no tenemos que preocuparnos por transformar$t \to t'$en cualquier lugar.

Para ver cómo esto simplifica las cosas, intenta reconstruir tu prueba usando$V$en cambio:

$$V' = \frac{\mathrm{d}X'}{\mathrm{d}t'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} (\Lambda X) = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}t'} X + \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} = \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} \neq \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}.$$ Si tratamos de convertir $\Lambda \, \mathrm{d}X/\mathrm{d}t'$en $S$-cantidades de fotogramas, de hecho tenemos un lío. De hecho, no puedo escribir la expresión sin usar componentes y la notación de suma de Einstein. Podemos escribir $$\Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \frac{\partial x^\nu}{\partial t'} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}x^\nu} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^\nu{}_{t'} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}x^\nu},$$ desde $x^\nu = \Lambda^\nu{}_{\nu'} x^{\nu'}$. Es decir, necesita combinar no solo los cuatro componentes de $V = \mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}t$pero también otras doce derivadas para obtener $V'$. ¹

Ahora, si intentaras usar$t$en vez de$t'$ en todas partes diferenciaste, ya sea que estuvieras diferenciando o no$X$o$X'$, todo saldría bien. Pero las velocidades así definidas solo tendrían buenas propiedades (como la norma unitaria) en un sistema de coordenadas, y la idea general de la relatividad es que puedes hacer física en cualquier sistema de coordenadas, siempre que seas coherente.

---

En el lenguaje de los tensores, esto se debe a que$V$y$V'$son solo cuatro componentes de dieciséis de un tensor de rango 2. En general, necesitas todos los componentes de un tensor para encontrar cualquiera de ellos en un marco diferente.$U$y$U'$, por otro lado, son tensores de rango 1 (también conocidos como vectores), por lo que si tiene los cuatro componentes de$U$, puede encontrar fácilmente cualquiera/todos los componentes de$U'$.