Diferencia entre el vector del físico y el vector del matemático

Matemáticamente un vector se define como un elemento del espacio vectorial que obedece a ciertas propiedades . Mientras leía sobre la teoría especial de la relatividad, llegué a conocer otra definición de vectores que se establece de la siguiente manera:

Entonces, formalmente, un vector es cualquier conjunto de tres componentes que se transforman de la misma manera que un desplazamiento cuando se somete a una transformación (por ejemplo, rotación).

Mi pregunta es, ¿se puede probar que la definición vectorial de los físicos es equivalente o es al menos un caso especial de la definición matemática de vectores?

La prueba es trivial, porque la definición del físico es la misma que la del matemático con algunas condiciones adicionales.
Una diferencia es que los vectores físicos se pueden mover, los vectores matemáticos no. En física elemental no solemos tener un lenguaje que distinga entre un vector y un campo vectorial . Además, la física generalmente agrega una estructura adicional que permite la definición de un producto escalar, pero no nos molestamos en señalar esto en el lenguaje. Y además, no nos molestamos en distinguir entre vector , co-vector y pseudo-vector .

Respuestas (2)

Es una discrepancia en la terminología. Entonces, el término matemático para lo que usan los físicos sería un campo vectorial invariante de Lorentz (u otro grupo de simetría). (También se puede construir una versión covariante, a saber, una forma 1). Son objetos geométricos en el fondo. Entonces, técnicamente hablando, un campo vectorial o una forma 1 son vectores en cada punto de la variedad donde están definidos.

El caso habitual en el que esto sucede es en el contexto de la relatividad especial cuando uno se encuentra por primera vez con "4 vectores". Estos son entonces campos vectoriales matemáticos, es decir X = X m ∂ m (el físico solo se preocupa por los componentes X m ). Entonces, si tienes una transformación de Lorentz Λ que se puede expresar como una matriz en componentes Λ v m , transforma nuestro vector Λ X = Λ v m X v ∂ m . Si un determinado objeto no se transforma así, los físicos dicen que no es un vector (Lorentz). Uno puede verificar la construcción formal de tales objetos en cualquier libro sobre geometría diferencial.

La física suele estar interesada en las simetrías de un escenario dado, y dado que normalmente los vectores que no siguen la simetría no son "físicos", uno se refiere como vectores a los interesantes.

EDITAR: si está solicitando escenarios más simples, solo considere en álgebra lineal donde puede ver el mismo problema en el trabajo cuando rota sus vectores base pero la "flecha", eso es lo que un físico tiene en mente, permanece apuntando la misma dirección después del cambio de base (aunque los coeficientes de combinación lineal, el componente, sí cambiaron).

No es un abuso de terminología, es simplemente una diferencia de uso entre dos campos. Ambos campos tienen una definición matemática claramente definida de lo que es un vector. Las definiciones simplemente no coinciden. Por cierto, el sistema vector-escalar y el término "vector" fueron inventados por físicos (Gibbs y Heaviside), así que si alguien puede reclamar la propiedad del término, son los físicos.
Realmente no me importa quién reclame el nombre, no tomo partido, creo que esa discusión está más allá de la pregunta. Sin embargo, ya existían nociones vagas de vectores, verifique ( en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector ).

Sí, los vectores en física obedecen a los axiomas del espacio vectorial, pero también tienen un comportamiento específico bajo rotaciones, por lo que no todos los vectores de los matemáticos son vectores de los físicos.

¿Puede citar una prueba o al menos mostrar la forma de proceder con la prueba?
Los vectores físicos suman: si A y B son vectores, también lo es A+B. Se pueden multiplicar por miembros de un campo (es decir, los números reales): si A es un vector, también lo es 2A. Entonces, los vectores físicos obedecen a los axiomas del espacio vectorial. Por el contrario, una lista de compras es un vector matemático perfectamente válido (las listas de precios forman el espacio dual) pero no hay forma de rotarlas.
@Iccyamoy "cómo proceder con la prueba": Primero muestre que el "desplazamiento" obedece a todas las propiedades. Entonces el desplazamiento es un vector matemático. Entonces, "un vector (físico) es cualquier conjunto de tres componentes" que se comporta así, por lo tanto, tiene las mismas propiedades, por lo tanto, es un vector matemático. Agregar la propiedad de transformación en la parte superior para definir un vector físico no cambia eso.
¿Puede especificar qué comportamiento o recomendar algún recurso?
Una rotación es una matriz cuadrada (3x3 o lo que sea) que transforma vectores (física) de modo que los productos escalares no cambian. Por lo tanto, son unitarios: su transversal (o conjugado hermitiano) es igual a su inversa. Bajo una rotación R todos los vectores físicos se transforman como v'=Rv. Para un vector matemático, este comportamiento es opcional (no puede rotar una lista de compras), para vectores físicos es esencial. (Existe la opción de variación covariante o contravariante, pero dejemos eso de lado).
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