Importancia física del componente cero de 4 velocidades y 4 fuerzas

La componente cero de la velocidad 4$u^a=(\gamma ,\gamma \vec v/c)c$es esencialmente el factor de dilatación del tiempo$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$(multiplicado por$c$con fines dimensionales). Usando la rapidez$\theta$(el ángulo de Minkowski entre dos vectores temporales), esa componente cero es esencialmente$\cosh\theta$.

En la práctica, [en unidades geométricas] la 4-velocidad es un vector de unidad de tiempo. Si se dibuja en un diagrama de espacio-tiempo, la punta representaría "un tictac" del reloj de ese objeto. Por lo tanto, el componente de tiempo de la unidad 4-velocidad sería la duración aparente del tic de ese objeto, es decir, el factor de dilatación del tiempo multiplicado por "un tic".

El componente cero de la fuerza 4 es el poder relativista.

En aras de la simplicidad, considere el caso de una partícula que se mueve con velocidad constante y en línea recta, y un reloj que se mueve junto con la partícula. Un segundo como lo indica el reloj es un segundo como lo percibe la partícula o, como decimos, el reloj está midiendo el tiempo adecuado . $\tau$de la partícula

Los componentes espaciales de la velocidad 4 de la partícula son bastante fáciles de detectar físicamente. ya que se definen como

$$\vec{u}=\frac{d\vec{x}}{d\tau},$$ representan con precisión la distancia recorrida por la partícula (en su marco de referencia), en unidades de su propio tiempo. Si la partícula se mueve con una velocidad de 4 que tiene $|\vec{u}|$=3 m/s , eso significa que cada vez que el reloj se mueve con la partícula, esta ha recorrido tres metros.

Ahora viene la parte difícil. La componente cero se define como

$$u^0 = \frac{dt}{d\tau}.$$ Lo que representa precisamente es la velocidad a la que se mueve la partícula a través del tiempo de su marco de referencia , es decir, cuánto "tiempo" ha viajado, en unidades de su propio tiempo. Si la partícula se mueve con una velocidad de 4 que tiene $u^0$=6 s/s eso significa que cada vez que el reloj se mueve con la partícula, la partícula ha viajado 6 segundos en su marco de referencia. La forma en que generalmente piensas sobre esto es que el tiempo de la partícula está dilatado: un segundo, tal como lo siente la partícula, dura seis segundos en tu marco de referencia.

Para la fuerza, dado que el componente cero del 4-momento es energía, el componente cero del 4-fuerza ($F^\mu=dp^\mu/d\tau$) es el análogo relativista del poder.

El componente cero de un vector de 4 a menudo se conoce como su componente "similar al tiempo" porque es análogo al eje del tiempo en$(t,x,y,z)$tiempo espacial. Entonces físicamente diciendo, componentes tales como$u^0$o$F^0$son simplemente iguales a sus primos espaciales, con una diferencia de un factor de$c$($m/s$) por consistencia dimensional ($x,y,z$se miden en metros, mientras que$t$se mide en segundos). En un nivel más profundo, las coordenadas temporales y espaciales pueden tratarse de manera similar debido al hecho de que la velocidad de la luz permanece sin cambios independientemente del marco de referencia. Para que eso sea posible, la longitud del vector$u^0$debe permanecer igual bajo cualquier transformación del espacio-tiempo, lo que implica un desplazamiento en el tiempo, tornándolo variable y perdiendo su carácter absoluto.

Para una explicación más visual, sugeriría la lista de reproducción de YouTube de Henry Reich sobre la relatividad especial: https://www.youtube.com/watch?v=ajhFNcUTJI0&list=PL712E709B05086D32

Si desea aprender más sobre las matemáticas de la relatividad especial, la transformación de Lorentz sería un buen comienzo:

• Transformación de Lorentz: https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation
• Derivación: https://en.wikipedia.org/wiki/Derivations_of_the_Lorentz_transformations

¡Espero que esto haya sido útil!