Transformación de base QM mediante operador unitario

Tengo una breve pregunta sobre las transformaciones de base en QM. Supongamos que tengo dos bases { | ϕ norte ⟩ } y { | ϕ norte ′ ⟩ } . Por brevedad, podemos hacerlos ortonormales. Sé que cualquier vector de estado se puede expandir en términos de ambas bases:

| ψ ⟩ = ∑ norte | ϕ norte ⟩ ⟨ ϕ norte | ψ ⟩ = ∑ norte | ϕ norte ′ ⟩ ⟨ ϕ norte ′ | ψ ⟩

También entiendo que el mapeo del operador | ϕ norte ⟩ a | ϕ norte ′ ⟩ , tu ^ , es un operador unitario.

Ahora siempre me han dicho que un cambio de base no cambia el vector de estado. Si he expresado mi vector de estado en la base { | ϕ norte ⟩ } y quiero expresarlo en términos de { | ϕ norte ′ ⟩ } Debería aplicar la transformación de identidad. 1 ^ = ∑ norte | ϕ norte ′ ⟩ ⟨ ϕ norte ′ | y habré cambiado la base.

En este proceso, la matriz de columna correspondiente cambiará como si se aplicara una matriz unitaria. A partir de esta observación, las páginas 115-116 del libro de Zettili y las notas de clase de un curso que estoy siguiendo concluyen que para expresar un vector de estado en una nueva base, deberíamos aplicar un operador unitario como este:

| ψ nuevo ⟩ = tu ^ | ψ viejo ⟩

He visto esta conclusión en varios lugares ahora, pero no puedo seguirla. ¿Por qué cambiamos de estado? | ψ ⟩ ? ¿No es el estado invariante de la base elegida? Ese es el enfoque de, por ejemplo, Sakurai en la sección 1.5.

¿O mantenemos la base fija mientras aplicamos el operador unitario? Una analogía que veo a menudo es una rotación 2D. Girando el ( X , y ) sistema de coordenadas a través de un ángulo θ convertirse ( X ′ , y ′ ) mientras que mantener el vector fijo es una transformación de base (del ( X , y ) hacia ( X ′ , y ′ ) -sistema). Pero matemáticamente, también puedo rotar el vector de estado en un ángulo − θ y tratar a los viejos ( X , y ) -ejes como los nuevos ( X ′ , y ′ ) -hachas. ¿Es esto lo que están haciendo las fuentes que me confunden (en un contexto QM)?

Respuestas (1)

El estado no cambia, por supuesto, pero sí su representación en la nueva base. Esto es bastante intuitivo, tomemos el ejemplo de las rotaciones en el espacio 2D: considere un vector unitario en el X y plano que viene dado por

V = ( 1 0 ) .
Si tuviera que describir este vector en una base X ′ y ′ que gira con respecto a X y por un ángulo θ en el sentido de las agujas del reloj, no debería ser demasiado difícil ver que corresponde a
V ′ = ( porque ⁡ θ pecado ⁡ θ ) .

El vector permanece "igual", pero su representación cambia según la elección de las coordenadas: lo que antes apuntaba a lo largo del X el eje ahora parecerá ser un punto a lo largo de alguna línea a lo largo del ángulo θ . Si quisiéramos relacionar estas dos representaciones, en 2D usaríamos una transformación ortogonal especial (una rotación), y podríamos decir que

V ′ = R V , dónde R = ( porque ⁡ θ pecado ⁡ θ − pecado ⁡ θ porque ⁡ θ ) .

Tal transformación conserva las longitudes, las orientaciones y los productos escalares de los vectores. De manera similar, en QM, las transformaciones que conservan la "longitud" (productos internos) son transformaciones unitarias tu ^ , ya que mantienen invariante el producto escalar, ya que

⟨ ϕ ′ | ψ ′ ⟩ = ⟨ ϕ ′ | tu ^ † tu ^ ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ .

No estoy seguro de seguir. En notación dirac, el estado con el que empiezo es | ψ ⟩ = | X ⟩ . Entonces en la nueva base obtenemos | ψ ⟩ = porque ⁡ θ | X ′ ⟩ + pecado ⁡ θ | y ′ ⟩ . Esto está perfectamente claro para mí: el vector permanece idéntico pero los elementos de la matriz cambian (¡a través de una matriz unitaria!). Pero si tuviera que aplicar un OPERADOR unitario a mi vector de estado, obtendría un vector completamente diferente: tu ^ | ψ ⟩ = porque ⁡ θ | X ⟩ − pecado ⁡ θ | y ⟩ . Eso es lo mismo si empiezo a "pretender" que los vectores base después de las transformaciones son "nuevos", ¿verdad?
Entonces en ese caso tenemos | V ′ ⟩ ≠ | V ⟩ ? Desde R ^ no es el operador de identidad?
Sí, ambos representan el mismo estado físico (es decir, el palo) pero sus representaciones son diferentes en nuestras bases individuales.
Por ejemplo: considere dos personas ( A y B ) moviéndose entre sí, observando una partícula en un estado de momento definido. Ambos miden el impulso de la partícula: A mide un impulso pag A , y B mide un impulso pag B . A ve el estado de la partícula como siendo | pag A ⟩ , y B lo ve como estar en | pag B ⟩ . Por supuesto, no hay nada especial en moverse constantemente en relación unos con otros, por lo que sus visiones del mundo son equivalentes, y todas las probabilidades de que A encontrará pag A y B encontrará pag B son lo mismo. La transformación entre estados es unitaria.
Perdón por hacer tantas preguntas, pero ¿la representación no es solo la matriz de columna asociada? Sé que la matriz de columnas, que contiene los componentes ⟨ X ′ | V ⟩ etc. cambia con una transformación unitaria. Pero la noción de que el vector de estado cambia ( | V ⟩ ≠ | V ′ ⟩ ) parece contradecir completamente el hecho de que podemos expresar un vector ket en múltiples bases a través de la transformación de identidad: | ψ ⟩ = ∑ norte | ϕ norte ⟩ ⟨ ϕ norte | ψ ⟩ = ∑ norte | ϕ norte ′ ⟩ ⟨ ϕ norte ′ | ψ ⟩
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