Modelado de oscilaciones forzadas con una sola función trigonométrica

Question

Modelado de oscilaciones forzadas con una sola función trigonométrica

Física
osciladores
oscilador armónico
mecanica-newtoniana

Juan Pérez

En un libro de física encontré la siguiente solución a una ecuación diferencial que modela un movimiento oscilante forzado y amortiguado:

X (t) = A porque (ω t + ϕ)

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ dónde

A = \frac{F_{0}}{\sqrt{{metro}^{2} {(ω^{2} - ω_{0}^{2})}^{2} + b^{2} ω^{2}}}

$A=\frac{F_0}{\sqrt{m^2\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+b^2\omega^2}}$ La ecuación diferencial que impulsó esta solución es

- k X - b \dot{X} + F_{0} pecado (ω t) = metro \ddot{X}

$-kx-b\dot{x}+F_0\sin(\omega t)=m\ddot{x}$

Sin embargo, esto no se siente intuitivamente correcto. Cuando la frecuencia angular $\omega$ de lo que está causando la oscilación forzada es igual a la frecuencia angular natural $\omega_0$ del sistema en el que está causando una oscilación, esto parece funcionar intuitivamente. Pero cuando este no es el caso, parece que $x(t)$ no se puede modelar como una sola función trigonométrica, sino como una combinación de múltiples.

Por ejemplo, en este video en 1:26, la frecuencia $\omega$ del generador de vibraciones se establece en 2 Hz, que es diferente de la frecuencia natural $\omega_0$ del sistema (esto resulta ser $\approx3.33$ Hz) y el movimiento de la masa no parece parecerse a una única función trigonométrica, sino a múltiples.

Aquí está mi mejor intento de graficar el movimiento aparente en 1:26:

F (X) = porque (X) - porque (2 X)

$f(x)=\cos(x)-\cos(2x)$

Mi pregunta: ¿ La fórmula es incorrecta/una versión simplificada? Si es así, ¿cuál es la correcta? Si no, ¿dónde me estoy equivocando aquí?

Respuestas (2)

Modelado de oscilaciones forzadas con una sola función trigonométrica

Vicente Thacker · Answer 1

La solución de un oscilador armónico forzado y amortiguado

metro \ddot{X} = - k X - b \dot{X} + F_{0} porque ω_{d} t

$m\ddot{x}=-kx - b\dot{x} +F_0 \cos\omega_{\text{d}} t$ es en realidad la suma de la parte de estado estacionario

x_{s}

$x_{\text{s}}$ y una parte transitoria

x_{t}

$x_{\text{t}}$

X = X_{s} + X_{t}

$x = x_{\text{s}} + x_{\text{t}}$ dónde

X_{s} \sim A porque (ω t + ϕ) X_{t} \sim A^{'} {mi}^{- γ t} pecado (ω^{'} t + ϕ^{'})

$x_{\text{s}} \sim A\cos(\omega t+\phi) \\ x_{\text{t}} \sim A' e^{-\gamma t} \sin (\omega' t+\phi')$

La parte transitoria depende de las condiciones iniciales y ambas partes están presentes al principio. A medida que pasa el tiempo, la parte transitoria decae exponencialmente, dejando solo la solución de estado estacionario, que es la que citó. Las ecuaciones completas se pueden encontrar aquí . Por lo tanto, al principio, el movimiento no será una sola función trigonométrica pura sino una suma de dos funciones trigonométricas.

Tomas Fritsch · Answer 2

Al mirar el video (que comienza alrededor de las 0:35) con atención, podemos ver que el elemento impulsor (en la parte inferior del dispositivo) no se mueve en una oscilación puramente sinusoidal. Se mueve más así:

El movimiento impulsor sigue siendo una función periódica, pero no similar a un seno.

Puede descomponer esta oscilación (como todo movimiento periódico) en una serie de Fourier de varias oscilaciones de seno puro.

En este caso, la descomposición de Fourier es más o menos así:

F (t) = F_{0} (pecado (ω t) + 0.33 pecado (3 ω t) + 0.2 pecado (5 ω t) + . . .)

$F(t)= F_0( \sin(\omega t) + 0.33\sin(3\omega t) + 0.2\sin(5\omega t) + ...)$

Verá, el movimiento contiene no solo la frecuencia base $\omega$ , pero también frecuencias más altas (que son múltiplos de la frecuencia base).

Para convencerlo de la validez de la descomposición de Fourier, aquí hay un diagrama de $F(t)$ considerando solo los 3 primeros componentes de la serie. Al considerar aún más componentes de frecuencia más alta, la serie se aproximaría aún mejor a la función de la primera imagen.

_{(imagen creada por FooPlot )}

Entonces la solución de la ecuación diferencial

- k X - b \dot{X} + F (t) = metro \ddot{X}

$-kx-b\dot{x}+F(t)=m\ddot{x}$

será

\begin{aligned} X (t) & = A (ω) porque (ω t + ϕ (ω)) \\ + 0.33 A (3 ω) porque (3 ω t + ϕ (3 ω)) \\ + 0.2 A (5 ω) porque (5 ω t + ϕ (5 ω)) \\ + . . . \end{aligned}

$\begin{align} x(t) &= A(\omega)\cos(\omega t+\phi(\omega)) \\ &+ 0.33 A(3\omega)\cos(3\omega t+\phi(3\omega)) \\ &+ 0.2 A(5\omega)\cos(5\omega t+\phi(5\omega)) \\ &+ ... \end{align}$

dónde $A(\omega)$ sigue siendo la expresión dada en su pregunta y $\phi(\omega)$ es otra expresión que también se puede calcular a partir de la ecuación diferencial. No es de extrañar que la respuesta $x(t)$ contiene no sólo la frecuencia base $\omega$ , sino también las frecuencias más altas. Especialmente, cuando una de estas frecuencias más altas ( $n\omega$ ) pasa a estar cerca de la frecuencia de resonancia ( $\omega_0$ ), entonces el componente con $A(n\omega)$ será bastante grande. Esto es exactamente lo que puedes observar en el video.

Modelado de oscilaciones forzadas con una sola función trigonométrica

Juan Pérez

Respuestas (2)

Vicente Thacker

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