Encontrar el período de una oscilación anarmónica sustituyendo la solución por SHM

Sus dudas sobre la solución dada están justificadas. El método de solución parece ser inválido y equivocado, pero vea mi nota al pie. Sin embargo, la opción de respuesta correcta sigue siendo (A).

Si la energía potencial es$V=k|x|^3$entonces (como observa) el movimiento no es armónico simple y no puede ser descrito por$x=A\sin(\omega t)$. La ecuación diferencial de movimiento es

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+3kx^2=0$$ que no es de la forma $$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0\,.$$

La ecuación de movimiento no tiene una solución simple. Sin embargo, podemos proceder como en Período$T$de oscilación con función de fuerza cúbica . Podemos escribir la conservación de la energía para el oscilador como

$$\begin{align}\frac12m\dot x^2+k|x|^3 &=ka^3\\ \implies~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \dot x^2 &=\frac{2k}{m}\left(a^3-|x|^3\right)\end{align}$$

dónde$a$es la amplitud. Cambiar variables a$x=ay$. Entonces :

$$\begin{align}a^2\dot y^2 &=\frac{2k}{m}a^3\left(1-|y|^3\right)\\\implies ~ \frac{dy}{dt} &=\sqrt{\frac{2k}{m}a\left(1-|y|^3\right)}\,.\end{align}$$

La oscilación es simétrica con respecto al punto de equilibrio, por lo que el período está dado por

$$T=\int dt=4\sqrt{\frac{m}{2ka}}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-y^3}}~dy\,.$$
Contrariamente a las apariencias, la integral es finita y tiene un valor de aprox. 1.40218.

Entonces el periodo es proporcional a$\frac{1}{\sqrt{a}}$y la respuesta es (A), pero no por la razón dada en la solución.

---

Nota : El método de solución en el texto de la imagen en realidad da la dependencia correcta de$T$en amplitud$a$para cualquier potencial de la forma$k|x|^n$. Así que tal vez haya alguna justificación para ello.

El problema y su generalización al potencial$V =\frac{k}{n}|x|^n$puede resolverse mediante análisis dimensional , cf. por ejemplo , esta respuesta Phys.SE, por lo que incluso si uno escribe ecuaciones incorrectas, por ejemplo,

$$x ~=~ a \sin\omega t ,\qquad\qquad\qquad (\longleftarrow \text{Wrong!})$$

siempre y cuando tengan un significado dimensional, por ejemplo,

$$[x] ~=~ [a \sin\omega t]~=~[a] ,\qquad\qquad (\longleftarrow \text{Correct!})$$

entonces uno está obligado a llegar al resultado correcto.

Te quejas de que la solución plantea una ecuación de movimiento

$$\begin{align} x(t) &\sim a\sin\omega t \tag1 \\ x''(t) & \sim -\omega^2 a\sin\omega t \tag2 \end{align}$$ cual es la solucion del oscilador armonico simple $mx'' = -kx$, no a su oscilador anarmónico $mx'' = -kx^2$. Lo cual es una crítica válida.

Sin embargo, si hace la suposición razonable de que el movimiento será periódico , entonces el análisis de Fourier nos dice que la solución se puede escribir en la forma

$$\begin{align} x(t) &= a_1\sin\omega t + a_2 \sin 2\omega t + \cdots + b_3 \cos3\omega t + \cdots \\ x''(t) &= -\omega^2 \left( a_1\sin\omega t + 2^2 a_2 \sin 2\omega t + \cdots + 3^2 b_3 \cos3\omega t + \cdots \right) \end{align}$$

donde los puntos suspensivos incluyen quizás algunos términos de coseno también. Encontrar todos los coeficientes de Fourier para que la suma entre paréntesis sea el cuadrado de la primera línea es un problema sencillo, aunque tedioso. Pero si tiene algo de experiencia con las series de Fourier, sabrá esperar que el coeficiente de baja frecuencia domine, en cuyo caso

$$x(t) \sim a_1\sin\omega t$$ está mal, pero no groseramente mal.

Cómo procedes a partir de ahí depende de tu gusto personal. Su texto parece estar siguiendo una lógica como

1. la ecuacion de movimiento es

   $$-kx^2 = mx''$$

2. sustituyendo (1) a la izquierda y (2) a la derecha,

   $$-k \left(a\sin\omega t\right)^2 = -\omega^2 a\sin\omega t$$

3. Resolver$T\propto 1/\omega$

4. pretender no darse cuenta de que el período$T$parece depender del tiempo, y solo mira su dependencia de la amplitud$a$.

El cuarto paso me incomoda, y creo que a ti también te incomodó, ya que lo pusiste en el título de tu pregunta.

Qmechanic sugiere el enfoque del físico, usando análisis dimensional. Los únicos parámetros libres en el movimiento son: la rigidez del potencial$k$, en$\rm J/m^3$; la masa del oscilador$m$en kilogramos; y la amplitud de la oscilación$a\propto a_1$en metros Solo hay una forma de combinar estos tres parámetros físicamente significativos para obtener un tiempo en segundos, y da$T\propto \sqrt{m/ak}$.