Péndulos de sincronización

Este es en realidad un problema interesante en la mecánica clásica, que se remonta a Huygens . Trabajaremos con las tres variables que defines en la pregunta, a saber$(x,\theta_1, \theta_2)$. También configuraremos su$m = l = g = 1$por simplicidad.

Energía cinética

El vector de posición de la primera lenteja del péndulo es

$$\mathbb{r}_1 = (x+\sin\theta_1, \cos\theta_1)$$

de donde deducimos que su energía cinética es

$$2T_1 = \dot{x}^2 + 2\dot{x}\dot{\theta_1}\cos\theta_1 + \dot{\theta_1}^2$$

De manera similar, podemos encontrar la energía cinética de la segunda lenteja.

Finalmente debemos tener en cuenta la energía cinética del soporte con masa$M$.

$$2T_3 = M\dot{x}^2$$

Es interesante mantener$M\neq 0$ya que diferentes valores de$M$dar un comportamiento diferente.

Energía potencial

Suponemos que la gravedad actúa sobre las pesas como de costumbre, produciendo términos de energía potencial de la forma$\cos\theta$. Suponemos también un potencial elástico$kx^2$tirando de la mesa de vuelta al equilibrio. En general tenemos

$$V = kx^2 - \cos\theta_1-\cos\theta_2$$

Ecuaciones de movimiento

Uno puede escribir fácilmente el Lagrangiano$L=T-V$y de ahí deducir las ecuaciones de movimiento

$$\ddot{\theta}+\ddot{x}\cos\theta+\sin\theta-\dot{x}\dot{\theta}\sin{\theta} = 0$$

$$(M+2)\ddot{x}+\ddot{\theta_1}\cos\theta_1+\ddot{\theta_2}\cos\theta_2 - \dot{\theta_1}^2\sin\theta_1-\dot{\theta_2}^2\sin{\theta_2} + kx = 0$$

Curiosamente, cuando los puse en Mathematica, ¡no hubo sincronización! Resulta que el ingrediente que falta es la amortiguación.

Mojadura

Intuitivamente, la diferencia de fase entre los péndulos debe derivar de manera periódica en ausencia de efectos disipativos. De hecho, eso es lo que ve cuando resuelve numéricamente las ecuaciones anteriores con Mathematica.

Recuerde que el amortiguamiento generalmente se modela como un término aditivo proporcional a la velocidad. Agregando en tales términos para$\theta_1$,$\theta_2$y$x$ahora produce el comportamiento de sincronización deseado. Para mis condiciones iniciales y elección de constantes, obtenemos un bloqueo antifase.

Resumen de la Física

La transferencia de impulso a través de un medio de conexión junto con efectos disipativos conduce a la sincronización.

mejores modelos

Para modelar completamente el video mencionado, necesitaría un término forzado del mecanismo de escape de los metrónomos. Puede leer acerca de este enfoque aquí . Consulte también esta demostración de Wolfram y los documentos a los que hace referencia.

hacia el caos

Evidentemente, esta configuración no es lineal y, por lo tanto, generalmente muestra un comportamiento caótico. El estudio de tales sistemas es particularmente importante en química y biología. Aquí hay una buena introducción.

Si quiere jugar con este comportamiento usted mismo, aquí está mi código rudimentario de Mathematica. Intenta jugar con las constantes y las condiciones iniciales.

sol = NDResolver[{30 x''[t] + y''[t] Cos[y[t]] + z''[t] Cos[z[t]] -
     y'[t]^2 Sin[y[t]] - z'[t]^2 Sin[z[t]] + 30 x[t] + 2 x'[t] == ​​0,
   y''[t] + x''[t] Cos[y[t]] + Sin[y[t]] - x'[t] y'[t] Sin[y[t]] +
     0.02 y'[t] == ​​0,
   z''[t] + x''[t] Cos[z[t]] + Sin[z[t]] - x'[t] z'[t] Sin[z[t]] +
     0,02 z'[t] == ​​0, x[0] == 0, x'[0] == 0, y[0] == Pi/10,
   y'[0] == 0, z[0.5] == 1, z'[2] == 0}, {x, y, z}, {t, 0, 1000}]
Parcela[{Evaluar[y[t] /. sol], Evaluar[z[t]/. sol]}, {t, 0, 250},
 PlotRange -> Todos]