¿Podemos adivinar la naturaleza periódica/aperiódica del movimiento a partir de la ecuación del movimiento?

Question

¿Podemos adivinar la naturaleza periódica/aperiódica del movimiento a partir de la ecuación del movimiento?

Física
osciladores
oscilador armónico
mecanica-newtoniana

Solidificación

La ecuación del movimiento de un péndulo con una lenteja de masa $m$ , y colgando por medio de un hilo sin masa de longitud $T$ es dado por

\ddot{θ} + \frac{gramo}{yo} pecado θ = 0,

$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0,$ y la de un oscilador unidimensional amortiguado que se mueve a lo largo

x

$x$ -eje es

\ddot{X} + γ \dot{X} + ω^{2} X = 0

$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0$ dónde

γ

$\gamma$ es la constante de fricción

¿Hay alguna forma de adivinar que la primera ecuación representa un movimiento periódico con un período de tiempo constante mientras que la segunda no lo es sin resolver las ecuaciones?

jerbo sammy

-1. Puedes adivinar (y lo hiciste) a partir del proceso físico si el movimiento era o no periódico. Probablemente de la misma manera que lo hizo Chris, usando la conservación de la energía. La presencia de fricción fue un poco reveladora. Las ecuaciones no eran necesarias. Preguntar si existen soluciones periódicas para una EDO en particular es matemática, no física. por ejemplo , math.stackexchange.com/questions/266158

Respuestas (3)

¿Podemos adivinar la naturaleza periódica/aperiódica del movimiento a partir de la ecuación del movimiento?

-1. Puedes adivinar (y lo hiciste) a partir del proceso físico si el movimiento era o no periódico. Probablemente de la misma manera que lo hizo Chris, usando la conservación de la energía. La presencia de fricción fue un poco reveladora. Las ecuaciones no eran necesarias. Preguntar si existen soluciones periódicas para una EDO en particular es matemática, no física. por ejemplo , math.stackexchange.com/questions/266158

cris · Answer 1

Una buena manera de ver este tipo de problemas es hablar de cantidades conservadas. Por ejemplo, con alguna manipulación, es fácil demostrar que algo como la energía se conserva en la primera fórmula:

\ddot{θ} + \frac{gramo}{yo} pecado θ = 0 = \ddot{θ} \dot{θ} + \frac{gramo}{yo} \dot{θ} pecado θ = \frac{d}{d t} (\frac{{\dot{θ}}^{2}}{2} - \frac{gramo}{yo} porque θ)

$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0=\ddot{\theta}\dot{\theta}+\frac{g}{l}\dot{\theta}\sin\theta=\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\frac{g}{l}\cos\theta\right)$

Y así la cantidad $\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\frac{g}{l}\cos\theta$ se conserva Dado que la velocidad angular es solo una función de la posición, nos quedan tres posibilidades:

El movimiento es ilimitado: va hacia el infinito. Esto no es posible aquí porque $\theta$ es periódico: si el péndulo se voltea, volvemos al punto de partida y sigue siendo un movimiento periódico.
El movimiento se detiene. Este no es el caso aquí porque $\ddot{\theta}$ y $\dot{\theta}$ no tienen los mismos ceros, excepto en los casos en que comienza en $\theta=0$ sin velocidad o tiene exactamente la velocidad correcta para detenerse en $\theta=\pi$ .
El movimiento es periódico.

Entonces, a excepción de los casos especiales en los que se detiene, esto describe un movimiento periódico.

Por otro lado tenemos:

\ddot{X} + γ \dot{X} + ω^{2} X = 0

$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0$

En primer lugar, está claro que nuestra solución no hará que la velocidad dependa solo de la posición, porque la aceleración depende de la velocidad. Para investigar esto, es útil observar una cantidad similar a la cantidad conservada de la última parte:

\ddot{X} + γ \dot{X} + ω^{2} X = 0

$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0$

\ddot{X} \dot{X} + ω^{2} X \dot{X} = - γ {\dot{X}}^{2}

$\ddot{x}\dot{x}+\omega^2x\dot{x}=-\gamma\dot{x}^2$

\frac{d}{d t} (\frac{{\dot{X}}^{2}}{2} + \frac{ω^{2} X^{2}}{2}) = - γ {\dot{X}}^{2}

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{x}^2}{2}+\frac{\omega^2x^2}{2}\right)=-\gamma\dot{x}^2$

Note que, si $\gamma>0$ , el término de la derecha siempre es negativo, por lo que la "energía" del sistema siempre está disminuyendo.

Ahora si $\gamma$ es pequeño, podemos imaginar que obtenemos mayormente movimiento periódico tal como antes por las mismas razones (tenga en cuenta que la parte de "energía potencial" es ilimitada, por lo que no puede ir al infinito), pero la energía se drena del sistema a lo largo de tiempo (si $\gamma>0$ , de lo contrario, se está bombeando energía al sistema), por lo que la amplitud de cada oscilación sucesiva es menor. Si $\gamma$ es grande, ni siquiera tenemos movimiento periódico inicialmente; la energía se disipa rápidamente.

Al final de tu primera ecuación, la derivada de theta debe elevarse al cuadrado.
@eranreches ¡Tienes razón! La corrección no es mi punto fuerte...
Ah, y ahora veo que también te falta 1/2 y una potencia de 2 en tu última ecuación. ¡Aparte de esa buena respuesta!
Estoy bastante seguro de que un péndulo doble también tiene cantidades conservadas (energía), pero su movimiento es seguramente aperiódico.
@LLlAMnYP Su periodicidad se basa en el hecho de que el movimiento es unidimensional. Un péndulo doble tiene dos velocidades diferentes que pueden variar de forma independiente; incluso si regresa exactamente al mismo lugar, la única cantidad conservada no es suficiente para restringir ambas velocidades.
Correcto, eso tiene más sentido. Tal vez sería bueno incluir su explicación en la respuesta. +1

ZeroTheHero · Answer 2

Lo haría señalando que el primer sistema es conservador mientras que el segundo no lo es.

Así, para el péndulo,

mi = T + V = \frac{1}{2} metro ℓ^{2} {\dot{θ}}^{2} + metro gramo ℓ (1 - porque θ) .

$E=T+V=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+mg\ell(1-\cos\theta)\, .$ Reconociendo el

E

$E$ es constante y, por lo tanto, puede evaluarse en los puntos de inflexión del movimiento (acotado) donde

(\dot{θ}, θ) = (0, \pm θ_{0})

$(\dot\theta,\theta)=(0,\pm \theta_0)$ , tenemos

E = m g ℓ (1 - \cos θ_{0})

$E=mg\ell(1-\cos\theta_0)$ . Así, reorganizando y teniendo en cuenta que

\dot{θ} = d θ / d t

$\dot\theta=d\theta/dt$ , nosotros alcanzamos

\begin{aligned} d t & = \pm \frac{d θ}{\sqrt{\frac{2}{metro ℓ^{2}} metro gramo ℓ (porque θ - porque θ_{0})}}, \\ T & = 4 \sqrt{\frac{ℓ}{2 gramo}} \int_{0}^{θ_{0}} \frac{d θ}{\sqrt{porque θ - porque θ_{0}}} = \sqrt{\frac{ℓ}{gramo}} F (θ_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align} dt&=\pm \frac{d\theta} {\sqrt{\frac{2}{m\ell^2}mg\ell(\cos\theta-\cos\theta_0)}}\, ,\\ T&=4\sqrt{\frac{\ell}{2g}}\int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{ \sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}= \sqrt{\frac{\ell}{g}}\,f(\theta_0)\, . \end{align}$ Por supuesto, para el segundo sistema no puedes hacer nada de esto ya que la energía no se conserva.

Manuel Fortín · Answer 3

Para agregar las otras respuestas, en el caso general de sistemas más complejos, puede tener sistemas conservativos en los que no hay una órbita periódica. Este es el tema de la teoría del caos. No existe una regla general que pueda decir si un sistema es caótico o no. Hay muchos teoremas que te pueden ayudar en algunos casos, pero el caso general no está resuelto.

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jerbo sammy

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