Transferencia de correlaciones CFT de R3R3\mathbb{R}^3 a S3S3S^3

Question

Transferencia de correlaciones CFT de R3R3\mathbb{R}^3 a S3S3S^3

usuario6818

Parece haber un método simple para transferir las correlaciones de un CFT de $\mathbb{R}^3$ a $S^3$ pero no entiendo por qué se supone que funciona.

La idea es que de alguna manera porque, $ds^2_{S^3} = \frac{4}{(1 + \vert \vec{r} \vert^2 )^2}ds^2_{\mathbb{R}^3 }$ se deduce que todo lo que uno necesita hacer es reemplazar todas las ocurrencias de $\vec{r} - \vec{r}'$ por $\frac{2(\vec{r} - \vec{r}') }{\sqrt{ (1 + \vert \vec{r} \vert ^2 )(1 + \vert \vec{r}' \vert ^2 ) } }$

¿Por qué se supone que esto funciona?
¿Cuál es la relación necesaria entre los dos CFT para que esto funcione?

(como si uno usa esto en la teoría del campo escalar libre, entonces resultará que escriben los laplacianos en $\mathbb{R}^3$ o $S^3$ las dos funciones de 2 puntos satisfacen diferentes PDE respectivamente y, por lo tanto, provienen de dos Lagrangianos diferentes, ya que de todos modos sabíamos que el Lagrangiano para el escalar acoplado conforme en el espacio plano no es el mismo que el Lagrangiano para el escalar acoplado conforme en $S^3$ )
¿Es parte de alguna idea general que funcionaría entre otros pares de variedades?

Trimok

Supongo que uno podría usar una proyección estereográfica de

S^{3}

$S^3$ a

R^{3}

$R^3$ , siendo este mapa conforme.

usuario6818

@Trimok ¿Puedes explicar esto un poco más? ¿Cómo se le ocurrió este mapa? ¿Y para qué tipo de CFT entre qué tipo de colectores sería permisible tal cosa?

Trimok

No tenía una idea precisa pero observo que el

d s_{S^{3}}^{2}

$ds^2_{S^3}$ Las métricas que diste corresponden a una proyección estereográfica:

ϕ (x, y, z, w) = (\frac{x}{1 - w}, \frac{y}{1 - w}, \frac{z}{1 - w})

$\phi(x,y,z,w) = (\frac{x}{1-w},\frac{y}{1-w} ,\frac{z}{1-w})$ , y

ϕ^{- 1} (a, b, c) = (\frac{2 a}{1 + r^{2}}, \frac{2 b}{1 + r^{2}}, \frac{2 c}{1 + r^{2}}, \frac{- 1 + r^{2}}{1 + r^{2}})

$\phi^{-1}(a,b,c) = (\frac{2a}{1+r^2}, \frac{2b}{1+r^2}, \frac{2c}{1+r^2}, \frac{-1+r^2}{1+r^2})$ , con

r^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

$r^2=a^2+b^2+c^2$

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Transferencia de correlaciones CFT de R3R3\mathbb{R}^3 a S3S3S^3

Supongo que uno podría usar una proyección estereográfica de $S^3$ a $R^3$ , siendo este mapa conforme.
@Trimok ¿Puedes explicar esto un poco más? ¿Cómo se le ocurrió este mapa? ¿Y para qué tipo de CFT entre qué tipo de colectores sería permisible tal cosa?
No tenía una idea precisa pero observo que el $ds^2_{S^3}$ Las métricas que diste corresponden a una proyección estereográfica: $\phi(x,y,z,w) = (\frac{x}{1-w},\frac{y}{1-w} ,\frac{z}{1-w})$ , y $\phi^{-1}(a,b,c) = (\frac{2a}{1+r^2}, \frac{2b}{1+r^2}, \frac{2c}{1+r^2}, \frac{-1+r^2}{1+r^2})$ , con $r^2=a^2+b^2+c^2$

David Bar Moshé · Answer 1

Ambos $\mathbb{R}^3$ y $S^3$ son espacios simétricos de rango 1 explícitamente, como espacios homogéneos están dados por:

R^{3} = I S O (3) / S O (3)

$\mathbb{R}^3 = ISO(3)/SO(3)$

y

S^{3} = S O (4) / S O (3)

$S^3 = SO(4)/SO(3)$

La importancia de que sean espacios simétricos de rango 1 es que solo hay un invariante de "dos puntos", es decir, cualquier función de dos puntos $r_1$ y $r_2$ invariante bajo el grupo de automorfismos ( $ISO(3)$ En el caso de $\mathbb{R}^3$ y $SO(4)$ En el caso de $S^3$ ) debe ser una función de un único invariante de dos puntos, que se puede tomar como la distancia geodésica:

d (r_{1}, r_{2}) = | r_{1} - r_{2} |

$d(r_1, r_2) = |r_1-r_2|$

En el caso de $\mathbb{R}^3$ y

d (r_{1}, r_{2}) = \frac{| r_{1} - r_{2} |}{\sqrt{1 + {\frac{r_{1}}{R}}^{2}} \sqrt{1 + {\frac{r_{2}}{R}}^{2}}}

$d(r_1, r_2) = \frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{1+\frac{r_1}{R}^2}\sqrt{1+\frac{r_2}{R}^2}}$

En las coordenadas de proyección estereográfica de $S^3$ ( $R$ es el radio de la esfera).

Por lo tanto, este reemplazo es el natural a adoptar para mantener la invariancia. También en el límite donde el radio de la esfera tiende a infinito, la $\mathbb{R}^3$ se obtienen funciones

Mas profundo, $ISO(3)$ se puede obtener de $SO(4)$ por un proceso de deformación llamado Contracción de Wigner-İnönü. Consulte el siguiente artículo expositivo de Shu-Heng Shao. Este es un límite singular y uno no puede esperar un mapeo suave de $R \leq \infty$ a $R = \infty$ después de todo, la topología es diferente.

Por esta razón, no se puede esperar que la contracción de las representaciones grupales sea uno a uno, consulte este artículo reciente de B. Cahen sobre la contracción de las representaciones grupales. Por ejemplo, las representaciones unitarias irreducibles de grupos no compactos son de dimensión infinita, mientras que para grupos compactos de dimensión finita, pero se sabe que las representaciones discretas de los grupos no compactos van en el límite de las representaciones (siempre discretas) de los grupos compactos.

Ahora, dos funciones puntuales se pueden descomponer en sumas de funciones propias de las representaciones de grupos portadores de Laplacian.

Un ejemplo famoso es el núcleo de calor, que puede descomponerse por los valores propios del Laplaciano, depende en el límite semiclásico únicamente de la distancia geodésica:

k (r_{1}, r_{2}, β) = \sum_{norte} ψ_{norte}^{*} (r_{1}) ψ_{norte} (r_{2}) {mi}^{- β {mi}_{norte}} \sim H mi s s i a norte (d (r_{1}, r_{2})^{2}) {mi}^{- \frac{d (r_{1}, r_{2})^{2}}{4 β}}

$K(r_1, r_2, \beta) = \sum_{n} \psi_n^*(r_1)\psi_n(r_2) e^{-\beta E_n} \sim \mathrm{Hessian}(d(r_1,r_2)^2)e^{-\frac{d(r_1,r_2)^2}{4\beta}}$

Dónde $\psi_n$ es la función propia del laplaciano correspondiente a la energía $E_n$ . Estas funciones llevan representaciones del grupo de automorfismos que tienen límites en la contracción.

Por lo tanto, para obtener la función análoga de dos puntos en la esfera, las funciones armónicas deben reemplazarse por las funciones propias correspondientes del Laplaciano en la esfera. En este caso se obtiene automáticamente la distancia geodésica sobre la esfera en el límite.

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David Bar Moshé

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