¿Cuál es la relación entre los diferentes tipos de teorías cuánticas de campos?

Hasta donde yo sé, todas las teorías cuánticas de campo conocidas tienen la misma estructura muy amplia: una da una lista finita de datos para especificar un QFT en particular , luego usa algún formalismo para extraer algorítmicamente varios observables físicos de esos datos específicos. (Supongo que un filósofo podría decir que todas las teorías físicas siguen este mismo patrón básico).

Pero la forma en que funciona este marco general se ve muy diferente para los diferentes tipos de QFT:

• Una QFT "estándar" basada en Lagrangian se especifica mediante una elección particular de densidad de Lagrangian que contiene solo términos de interacción renormalizables. Más concretamente, los "datos de entrada" que determinan una teoría son una lista de campos y un conjunto finito de constantes de acoplamiento entre esos campos. Los observables que surgen de este marco son principalmente$n$-Funciones de correlación puntuales de los distintos campos. (Aunque no necesariamente todas las funciones de correlación posibles, por ejemplo, para las teorías de calibre, solo las funciones de correlación de cantidades invariantes de calibre son físicamente observables. Estas funciones de correlación no siempre son la "respuesta final", por ejemplo, podríamos conectarlas en la fórmula LSZ para obtener amplitudes de dispersión en su lugar. Y a veces es posible que queramos responder preguntas que no son respondidas directamente por funciones de correlación, por ejemplo, el signo de la función beta, o si una teoría particular experimenta una transición de fase. Pero en principio, las funciones de correlación (directa o indirectamente) determinar todas las cantidades observables.)
• Una teoría de campo conforme se ve superficialmente muy diferente. A menudo no escribimos ningún Lagrangiano para una CFT, especialmente cuando se trabaja en el marco del arranque conforme. "En general, no se conoce el conjunto completo de datos y condiciones de consistencia asociados con una CFT", como se analiza aquí . Pero creemos que, al menos para campos escalares en el espacio-tiempo plano, los pesos conformes del campo primario$\Delta_i$y los coeficientes de expansión del producto del operador$f_{ijk}$juntos forman suficientes datos CFT. (Estos datos CFT deben respetar ciertas restricciones de consistencia, como la ecuación de simetría cruzada (que asegura la asociatividad del OPE) y la invariancia modular en dos dimensiones. También puede haber otras restricciones de consistencia). Pero al igual que en el caso de Lagrange, los observables que salen del marco suelen ser$n$-funciones de correlación puntuales.
• De nuevo, una teoría topológica del campo se ve muy diferente. Hay varias formas diferentes de formular TQFT: en términos de funtores monoidales simétricos , categorías de fusión trenzada o categorías de tensores modulares ( eso son siete enlaces diferentes). También hay TQFT de tipo Schwarz, que tienden a surgir en la teoría de la materia condensada, y TQFT de tipo Witten, que tienden a surgir en la teoría de alta energía. La idea básica es que un TQFT es un mapa de una topología de espacio-tiempo a algún número complejo topológicamente invariante. Dependiendo de la formulación específica, los datos iniciales que especifican una elección particular de TQFT pueden ser un conjunto de $f$símbolos, o$S$y$T$matrices, etc., y los "observables" que resultan son varios invariantes topológicos. Por lo general, no hay una noción útil de$n$-funciones de correlación puntuales.

Obviamente, no está del todo claro cómo combinar estas tres nociones muy distintas en un solo marco conceptual unificador. Tengo dos preguntas relacionadas sobre las relaciones entre ellos:

1. Cuando se usa sin calificación, el término "teoría cuántica de campos" generalmente se refiere al formalismo basado en Lagrange. A menudo pensamos intuitivamente en los otros dos como casos especiales de este. Por ejemplo, a menudo pensamos en una CFT como un punto fijo RG de alguna QFT no conforme, pero rara vez escribimos la CFT Lagrangiana explícitamente. De hecho, muchas CFT no tienen ninguna descripción lagrangiana conocida. Incluso se sospecha que algunos CFT, como$(2, 0)$la teoría del campo superconforme en seis dimensiones, no tiene una descripción lagrangiana posible , aunque aparentemente no hay un teorema de no-go probado . De manera similar, los TQFT de tipo Schwarz a menudo se consideran teorías basadas en lagrangianos cuyos lagrangianos no dependen de la métrica del espacio-tiempo. De hecho, uno podría pensar que todos los TQFT de tipo Schwarz también son CFT, ya que la densidad lagrangiana de cualquier TQFT de tipo Schwarz se transforma trivialmente de manera conforme (es decir,$g_{\mu \nu}(x) \to \Lambda(x) g_{\mu \nu}(x)$) bajo difeomorfismos arbitrarios, ya que la métrica no aparece en absoluto! (Aunque nuevamente, en la práctica, los CFT y los TQFT se ven muy diferentes). Tienen cualquiera de las inclusiones aparentemente razonables$\text{TQFT} \subset \text{CFT}$o$\text{CFT} \subset \text{(Lagrangian QFT)}$ha sido probado o refutado? (Esta pregunta está relacionada con esta ).

2. ¿ Los intentos de formalizar matemáticamente QFT (por ejemplo, los axiomas de Wightman , etc.) intentan cubrir todos estos tipos de QFT simultáneamente? Si no, ¿hay algún marco matemático que los unifique? Tengo entendido que ciertas QFT topológicas se han hecho completamente matemáticamente rigurosas, pero se ha logrado poco progreso para las QFT basadas en Lagrangian. No estoy seguro de cuál es el estado de CFT desde el punto de vista del rigor matemático.