Traducir sentencia a lógica de predicados

Definitivamente no es la segunda afirmación: esa dice que 1 e y dividen a y... lo cual es cierto para cualquier número, no solo para los números primos.

La primera tiene razón: dice que los únicos dos números que dividen a y son el 1 y el mismo y…. y eso lo convierte en un número primo (y no tenemos que preocuparnos de que y sea 1, ya que el dominio son los números enteros positivos, por lo que si y es mayor que x, ya tenemos que y es mayor que 1

Considere la declaración$\forall z((z = 1 \lor z = y) \to P(z, y))$. Tenga en cuenta que, en general,$(A \lor B) \to C$es lógicamente equivalente a$(A \to C) \land (B \to C)$. Entonces podemos reescribir$(z = 1 \lor z = y) \to P(z, y)$como$(z = 1 \to P(z, y)) \land (z = y) \to P(z, y))$.

Ahora en general,$\forall z (Q(z) \land R(z))$es lógicamente equivalente a$\forall z Q(z) \land \forall z R(z)$. Entonces podemos reescribir$\forall z ((z = 1 \to P(z, y)) \land (z = y \to P(z, y))$como$\forall z (z = 1 \to P(z, y)) \land \forall z (z = y \to P(z, y))$.

Ahora en general,$\forall x (x = w \to Q(x))$es lógicamente equivalente a$Q(w)$. Entonces podemos reescribir$\forall z (z = 1 \to P(z, y))$como$P(1, y)$, y podemos reescribir$\forall z (z = y \to P(z, y))$como$P(y, y)$.

Así que la declaración es lógicamente equivalente a$P(1, y) \land P(y, y)$. Tenga en cuenta que ambos$P(1, y)$y$P(y, y)$son siempre verdad.

Así que la declaración$\forall x \exists y (y > x \land \forall z((z = 1 \lor z = y) \to P(z, y)))$es lógicamente equivalente a$\forall x \exists y (y > x)$. Esto es trivial.

Por el contrario, tenga en cuenta que la declaración "$w$es primo" se puede expresar como$w \neq 1 \land \forall z (P(z, w) \to z = 1 \lor z = w))$. Entonces, la primera definición es lógicamente equivalente a decir que hay números primos arbitrariamente grandes.