Análisis I (Terence Tao)—Variables libres y ligadas

En el Análisis I de Terence Tao (página 321), dice que la declaración " X + 3 = 5 no tiene un valor de verdad definido si X es una variable real libre". Por otro lado, la proposición "sea X = 2 " une la variable X . Los comentarios de Tao me dejaron con algunas preguntas:

  1. Si X no es una variable real libre, ¿puede la ecuación X + 3 = 5 debe entenderse para vincular la variable X ? Si es así, entonces la ecuación es X + 3 = 5 ¿una declaración? que pasa con la ecuacion X = X + 1 , que no tiene soluciones reales? ¿Esto une la variable? X ?
  2. Las palabras "dejar X = 2 se dice que unen la variable X . ¿Es simplemente una convención que cuando usamos la palabra "let", la variable X queda atado? ¿Puede la ecuación X = 2 también se utilizará en el caso de que X es una variable real libre, en cuyo caso X = 2 no tiene un valor de verdad definido? Y cuando escribimos "let X = 2 "¿Es esto una declaración ?
  3. La identidad ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 es cierto para todos los valores reales de X . En otras palabras, la siguiente proposición es verdadera:
    ∀ X : ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 .
    Según Tao, esto significa que "la declaración ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 ... es cierto incluso cuando X es una variable libre". Lo que me parece paradójico de esto es que para saber que ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 es verdad si aunque X es una variable libre, tenemos que demostrar que ∀ X : ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 , dónde X queda atado. En otras palabras, la declaración ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 para cualquier elección de variable libre X parece unir la variable X . ¿Hay algo que me estoy perdiendo aquí?
No estoy muy bien informado sobre variables libres y enlazadas, pero esta pregunta me recuerda cómo en la programación de computadoras, la "asignación" usa una sintaxis diferente (a menudo) x = cque "verificar la igualdad" (a menudo x == c).
Si X está en el ámbito de un cuantificador, como por ejemplo ∀ X ( X ≥ 0 ) , entonces está atado . Si no, como por ejemplo en ( X ≥ 0 ) es gratis _
3: "La identidad..." significa que tenemos un cuantificador universal principal implícito: ∀ X [ ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 ]
2. Sí, es una convención: estamos asignando a variable X el valor 2 . Por lo tanto, ya no es una variable en absoluto.
@MauroALLEGRANZA, yo (no el OP) probablemente confundí la situación al comentar una publicación de alguien con el mismo nombre de usuario. Lo siento. El OP probablemente tenga más conocimientos sobre variables libres y vinculadas que yo.
@MauroALLEGRANZA: OP aquí. Gracias por responder. Todavía no estoy seguro si la ecuación X + 3 = 5 debe entenderse para vincular la variable X aunque, al igual que la expresión "let X = 2 " hace.
La formula ∀ X ( X + 3 = 5 ) es falso mientras ∃ X ( X + 3 = 5 ) es verdad; así, cuando escribimos la ecuación, generalmente entendemos que planteamos un "problema": encontrar la solución (si la hay) de la ecuación.
@MauroALLEGRANZA: ¿Es posible si me explicas la respuesta a mi tercera pregunta?
Ya respondido anteriormente: la fórmula es verdadera para cada elección de valor para X , porque la cuantificación universal es verdadera. Ver instanciación universal ∀ X φ → φ [ a / X ]
@MauroALLEGRANZA: Tao dice que el comunicado ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 se puede considerar cierto incluso si X es una variable libre, y eso es lo que me parece confuso.
Muy pocos para agregar... Las definiciones de free andbound están relacionadas con un lenguaje formal con cuantificadores y son claras y simples: en ∀ X [ ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 ] X está atado mientras está en ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 X es gratis _ Eso es todo. En la jerga matemática actual, a veces omitimos los cuantificadores porque la lectura correcta la dicta el contexto. tenemos eso ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 se llama identidad porque siempre es verdadera, es decir, es verdadera para cada valor asignado a la variable X . 1/2
En este sentido (este IMO es el significado de la intrincada discusión de Tao) tenemos una fórmula con variable libre - y por lo tanto sin un valor de verdad definido - que de hecho "funciona como" una oración (es decir, una fórmula sin variables libres) porque sabemos que cada posible asignación de valores a la variable generará el mismo valor de verdad, es decir, VERDADERO. 2/2
@MauroALLEGRANZA: Bien, eso aclara las cosas. Tengo otra pregunta: Tao dice que X = 2 → X 2 = 4 es una afirmación verdadera. Sin embargo, creo que si estamos siendo formales, entonces deberíamos escribir ∀ X : X = 2 → X 2 = 4 . En rigor, la afirmación de que X = 2 → X 2 = 4 no es ni verdadero ni falso porque X es libre, y solo las declaraciones sin variables libres son verdaderas o falsas. ¿Es eso correcto?
Consulte esta pregunta: math.stackexchange.com/questions/2995394/… . Hay 2 mecánicas opuestas muy comunes a las variables libres, ambas utilizadas en muchas lógicas.
Las fórmulas algebraicas elementales como f(x)=x+1 que aprendimos en la escuela secundaria son fórmulas bien formadas con x variable libre, ya que x puede estar dentro del dominio del número natural, el número real o incluso el número complejo. Por lo tanto, no podemos estar seguros de qué valor se evaluó f(x) a menos que introduzcamos el dominio y el cuantificador, por ejemplo, los números naturales, entonces x está ligado y, lo que es más importante, podemos tener un valor de verdad para un predicado como ∀x(f(x)= 2) que por supuesto es falso, pero ∃x(f(x)=2) es verdadero.

Respuestas (3)

No es particularmente útil pensar en "libre" versus "atado" como una distinción absoluta donde cada variable es una o la otra.

Más bien, "libre" o "atado" es algo que una variable puede ser en relación con una cierta cantidad de contexto . La clasificación es realmente una función tanto de la variable como de la cantidad de contexto que está mirando, y si cambia a mirar y a un contexto más amplio, la variable puede cambiar de libre a limitada.

El verdadero concepto no es " X es una variable libre", pero " X es libre en (algún texto o fórmula que tenga el nombre X en él)". A veces omitimos indicar cuál es el contexto, si confiamos en que el lector puede darse cuenta de qué contexto estamos hablando, pero el concepto técnico no está completo sin él.

Por ejemplo, supongamos que decimos:

Dejar b = 5 .

Hace X 2 = b + 3 tener una solución para X ?

Si tomamos la ecuación " X 2 = b + 3 como nuestro contexto, tanto X y b son libres en ese contexto.

Si el contexto es solo la segunda línea del ejemplo, el X en X 2 ahora está encuadernado , es decir, la frase "solución para X " lo une en el sentido de decirnos cuál es el punto de esa variable. (No tiene sentido preguntar "no X 2 = b + 3 tener una solución para X si X = 2 ?" porque hablando de una "solución para X "supone que X somos libres de variar el valor de X -- por eso "solución para X " une la variable). Pero b sigue siendo libre cuando esa línea es nuestro contexto.

Cuando todo el ejemplo es nuestro contexto, ambas variables en X 2 = b + 3 están obligados.

Otra forma de decir esto es que la pregunta real no es si una ocurrencia de una variable está vinculada, sino dónde está vinculada, y en particular si la vinculación ocurre dentro de algún contexto particular que nos interese.

identidades como ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 son un caso interesante.

En rigor, la pregunta "es ( X + 1 ) 2 el mismo numero que X 2 + 2 X + 1 ?" no obtiene una respuesta antes X es un número tal que podemos calcular los dos lados y compararlos. Sin embargo, sabemos que cuando obtenemos una respuesta, esa respuesta seguramente será "sí".

Cuando estamos haciendo cálculos reales, la expectativa es siempre que cada variable eventualmente esté vinculada por algo si buscamos lo suficientemente lejos para el contexto; al menos, entonces todo el libro en el que encontramos el texto siempre viene con una convención implícita que cada variable que no está vinculada explícitamente puede tener un valor arbitrario y se supone que lo que afirma el libro sobre esas variables es cierto sin importar el valor real que les demos. Y esa convención en sí cuenta como un enlace para la variable. (En la práctica, esta convención casi siempre se aplica a fragmentos de texto más pequeños que un libro completo: capítulos, secciones, pruebas individuales o párrafos).

Así que dado que estamos esperando el X en ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2 X + 1 está atado en alguna parte , esa expectativa es lo que nos permite reescribir todo como "verdadero", porque será cierto cuando veamos la reescritura en el contexto más amplio posible.

  1. no, la ecuacion X + 2 = 5 no se puede entender que ate X . no tiene un significado claro por sí mismo. La oración “Deja X ser la única solución real a X + 2 = 5 ” es un enlace justo de la variable X , aunque. Ha vinculado una variable cuando tiene sentido decir algo como "entonces en particular, X ≠ 4 .”

Nada de esto está demasiado relacionado con la ocurrencia principal de una ecuación como X + 2 = 5 en cursos de matemáticas de secundaria y preparatoria, donde el objetivo generalmente es encontrar tal X , es decir, dárselo de alguna forma más explícita. Sin embargo, puedes imaginar que en este contexto eso es lo que se dice, aunque a menudo solo implícitamente, es algo así como "Deja que X ser tal que X + 3 = 5. ¿Cuáles son los posibles valores de X ?” El estudiante de álgebra luego procede con manipulaciones que dependen de X que representa un número particular, que es lo que significa ser una variable ligada.

  1. Está implícito en el significado de “vincular una variable” que “Dejemos X = 2 ” se une X . Vincular una variable es establecerla en un valor. Así que no diría que es una cuestión de convención, excepto en la medida en que el significado de cualquier cadena de letras sea una cuestión de convención. En cuanto a si esta oración vinculante variable es una declaración, debe poder decidir por sí mismo recordando que una declaración es una oración que es verdadera o falsa.

  2. Todo lo que sucede aquí es que a menudo declaramos identidades con el cuantificador universal implícito. Puede aclarar cualquier confusión sobre este asunto volviendo a colocar el cuantificador implícito. No se preocupe por lo que significa que una declaración que contiene una variable libre sea "verdadera".

Muchas gracias por aclarar esto, Kevin. ¿Es posible si también aborda las preguntas 2 y 3, por favor?
Bien, eso tiene sentido, gracias. No creo que "dejar X = 2 " es una declaración porque simplemente define lo que la variable X significa, en lugar de hacer una afirmación. Lamento molestarlo, pero creo que todavía hay "casos extremos" que debo aclarar: supongamos que escribimos "let X satisfacer X 2 = 9 ". ¿Constituye esto una vinculación de la variable X , dado que la ecuación anterior tiene dos soluciones reales?

  1. OP: Creo que todavía hay un "caso extremo" que necesito aclarar: supongamos que escribimos "let X satisfacer X 2 = 9 ". ¿Constituye esto una vinculación de la variable X , dado que la ecuación anterior tiene dos soluciones reales?

    "Dejar X satisfacer X 2 = 9 ”, es decir, “dejar X ∈ { − 3 , 3 } ” declara X ser un elemento arbitrario de { − 3 , 3 } , entonces sí X ciertamente está siendo atado. En el contexto de una prueba, esto se traduce formalmente como

    ∀ X ( X ∈ { − 3 , 3 } ⟹ … ) ,
    o, un poco menos formalmente,
    ∀ X ∈ { − 3 , 3 } … .

  2. Estas dos respuestas que escribí recientemente, y el enlace english.stackexchange contenido dentro, pertenecen a sus diversas consultas y complementan las otras respuestas en esta página: fórmulas abiertas versus cerradas y cómo interpretar "let" .

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