¿Cuál es la diferencia entre ∀x[(∃yPxy)⟶ϕ]∀x[(∃yPxy)⟶ϕ]\forall x [ (\exists y Pxy) \longrightarrow \phi ] y ∀x∃y[Pxy⟶ϕ] ∀x∃y[Pxy⟶ϕ]\forall x \exists y [Pxy \longrightarrow \phi]?

Suponer$Pxy$es un$2$predicado -ario y$\phi$es solo una forma fija de predicado arbitrario.

1. $\forall x [ (\exists y Pxy) \longrightarrow \phi ]$

2. $\forall x \exists y [Pxy \longrightarrow \phi]$

Es la única diferencia entre 1. y 2. en el caso en que$\exists y$¿no es verdad? es decir, podemos estar en una interpretación$\mathcal{I}$donde el universo/dominio del discurso puede estar vacío, ¿entonces eso hace que 1. sea verdadero y 2. sea falso?

Entonces me parece que si nos restringimos a interpretaciones$\mathcal{I}$cuyo dominio de discurso no está vacío entonces 1. y 2. son lógicamente equivalentes$^1$.

Observaciones: $^1$Estoy pensando en las interpretaciones en el contexto de la lógica de primer orden, pero ¿qué pasa con la lógica de segundo orden u otros órdenes lógicos superiores? (Aunque no he estudiado nada más allá de la lógica de primer orden, ¿tal vez alguien pueda decir algo al respecto? Pero esta probablemente sea otra pregunta por derecho propio)