Lógica de predicados que traduce "Todos menos uno"

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Lógica de predicados que traduce "Todos menos uno"

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usuario95552

Necesito traducir una oración en inglés que incluya la frase "todos menos uno" a la lógica de predicados. La oración es: "Todos los estudiantes menos uno tienen conexión a Internet". No estoy seguro de cómo mostrar "todos menos uno" en lógica.

yo podría decir $\forall x ((x \neq a) \rightarrow I(x))$

$I(x)$ ser " $x$ tiene conexión a internet"

Pero eso claramente no funcionaría en este caso, ya que no sabemos qué estudiante es.

podría decir eso $\exists x(\neg I(x))$

Pero no parece que tenga el mismo significado. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda que puedas aportar!

Git Gud

No me parece bien tu sugerencia porque presumiblemente el universo es el conjunto de todas las personas o algo así. Entonces necesitas un predicado para significar '

x

$x$ es un estudiante' y uno para significar '

x

$x$ tiene conexión a internet'. Como una pista reformularlo como

there exists a student that doesn't have an internet connection such that all other students do.

$\text {there exists a student that doesn't have an internet connection such that all other students do.}$

usuario95552

lo siento, en este caso, el universo es el conjunto de todas las personas de una clase. Así que debería haber dicho "Todos los estudiantes de la clase menos uno tienen conexión a Internet". Entonces, en este caso, si todos los estudiantes tuvieran una conexión, sería ∀xI(x).

MJD

posible duplicado de Escribir 'Hay exactamente 1 persona...' sin el cuantificador de unicidad

Git Gud

@ user95552 Primero tenga en cuenta que mi sugerencia es incorrecta porque no se trata de la singularidad. Con respecto a lo que dijiste, diría que está mal porque hay personas en la clase que no son estudiantes, pero eso probablemente dependa de la interpretación. Editar: mi sugerencia trata sobre la singularidad después de todo, por lo que la sugerencia es correcta. Lo siento.

usuario95552

Muy bien, puedo cambiarlo fácilmente para que funcione con un universo diferente, pero a partir de tu sugerencia, ¿podría decir que ∃x(¬I(x) ∧ ∀y((x≠y) → I(y))) significa que hay es un estudiante sin conexión a Internet y todos los estudiantes que no son ese estudiante tienen una conexión.

Git Gud

@ user95552 Sí, está bien.

Respuestas (3)

Lógica de predicados que traduce "Todos menos uno"

No me parece bien tu sugerencia porque presumiblemente el universo es el conjunto de todas las personas o algo así. Entonces necesitas un predicado para significar ' $x$ es un estudiante' y uno para significar ' $x$ tiene conexión a internet'. Como una pista reformularlo como $\text {there exists a student that doesn't have an internet connection such that all other students do.}$
lo siento, en este caso, el universo es el conjunto de todas las personas de una clase. Así que debería haber dicho "Todos los estudiantes de la clase menos uno tienen conexión a Internet". Entonces, en este caso, si todos los estudiantes tuvieran una conexión, sería ∀xI(x).
posible duplicado de Escribir 'Hay exactamente 1 persona...' sin el cuantificador de unicidad
@ user95552 Primero tenga en cuenta que mi sugerencia es incorrecta porque no se trata de la singularidad. Con respecto a lo que dijiste, diría que está mal porque hay personas en la clase que no son estudiantes, pero eso probablemente dependa de la interpretación. Editar: mi sugerencia trata sobre la singularidad después de todo, por lo que la sugerencia es correcta. Lo siento.
Muy bien, puedo cambiarlo fácilmente para que funcione con un universo diferente, pero a partir de tu sugerencia, ¿podría decir que ∃x(¬I(x) ∧ ∀y((x≠y) → I(y))) significa que hay es un estudiante sin conexión a Internet y todos los estudiantes que no son ese estudiante tienen una conexión.

mjqxxxx · Answer 1

Si quiere decir que hay exactamente un elemento con una propiedad dada, puede definir un cuantificador de "existencia única", $\exists!$ , como sigue:

\exists! X : φ (X) ⟺ \exists X : [φ (X) \land \forall y : (φ (y) ⟺ y = X)] .

$\exists!x : \varphi(x) \iff \exists{x}{:}\left[\varphi(x)\wedge \forall{y}:\left(\varphi(y){\iff} y=x\right)\right].$ Es decir, un elemento particular.

x

$x$ tiene la propiedad

φ

$\varphi$ , y cualquier elemento con la propiedad

φ

$\varphi$ debe ser el mismo

x

$x$ . Para su problema, quiere decir que hay exactamente una persona que es estudiante y no tiene acceso a Internet.

Pedro Smith · Answer 2

"Todos los estudiantes menos uno tienen conexión a Internet" significa que hay un estudiante que carece de conexión, mientras que todos los demás estudiantes (¡todos los estudiantes no idénticos al desafortunado!) tienen una. Entonces (si el dominio es, por ejemplo, personas)

$\exists X ({S X \land \neg I X} \land \forall y ({S y \land \neg y = X} \to I y))$ $\exists x(\{Sx \land \neg Ix\} \land \forall y(\{Sy \land \neg y = x\} \to Iy))$

Podría haberme salvado los dedos si hubiera leído todos los comentarios primero, pero dejaré esto en su lugar.

MarnixKlooster ReintegroMonica · Answer 3

"Para todos menos uno $\;x\;$ , $\;P(x)\;$ tiene" es lo mismo que "existe un único $\;x\;$ tal que $\;\lnot P(x)\;$ sostiene

Normalmente la notación $\;\exists!\;$ se usa para "existe un único" (al igual que $\;\exists\;$ se usa para "existe algo").

Si su respuesta puede usar $\;\exists!\;$ , entonces lo anterior te da la respuesta.

Si no, entonces hay diferentes maneras de escribir $\;\exists!\;$ en términos de $\;\exists\;$ y $\;\forall\;$ . El que más me gusta, que también da como resultado la fórmula más corta, se puede encontrar en otra respuesta mía .

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Pedro Smith

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