Restricciones de las reglas de inferencia del cuantificador

Primero, sé que sabes que las reglas de inferencia no son fracciones, pero aun así... reemplaza 'Numerador' y 'Denominador' con algo más apropiado... como 'premisa' y 'conclusión' respectivamente.

OK, las reglas y alguna explicación más intuitiva:

Instanciación universal

Forma 'típica':

$\forall x P(x)$

$\therefore P(a)$para cualquier constante$a$

Explicación:

todas las cosas tienen propiedad$P$, entonces por supuesto cada cosa individual tiene propiedad$P$, si esto es$a$,$b$, ... Es por eso que no hay restricciones aquí.

generalización universal

Forma 'típica':

$P(a)$... dónde$a$ha sido introducido como un objeto arbitrario !

$\therefore \forall x P(x)$

Explicación:

Supongamos que tenemos una constante que estamos usando para denotar un objeto específico , por ejemplo, supongamos que usamos la constante$c$para 'Charlie', y supongamos que tenemos como un hecho que$Dog(c)$, ya que sabemos que Charlie es un perro. Ahora bien, claramente no deberíamos poder inferir que todo es un perro solo porque Charlie es un perro. Y es por eso que ordenamos la constante$a$en la regla para ser un nombre temporal que usamos para denotar "algún objeto arbitrario de nuestro dominio... llamémoslo$a$De hecho, muchos sistemas requieren que introduzcas explícitamente esta constante... sería el equivalente lógico formal al matemático "considera cualquier objeto".$a$".

Debo decir que en su descripción fuera de la regla este requisito no está claro. ... así que si no entiende la regla como usted mismo dijo, ¡puedo entender eso!

Aquí hay un ejemplo de prueba formal:

1. $\forall x P(x)$Premisa

2. $\forall x Q(x)$Premisa

3. $\qquad a$(aquí es donde presentamos$a$... así que tenemos que asegurarnos de que$a$no se usa anteriormente en la prueba, es decir, es una constante 'nueva'. Nuevamente, esto es equivalente a decir "consideremos cualquier objeto arbitrario$a$. Uso la sangría para crear un contexto temporal para el uso de este$a$... algunos sistemas usan subpruebas para hacer esto)

4. $\qquad P(a)$Universal Instanciación 1 (como vimos, esto funciona para cualquier constante, también para$a$)

5. $\qquad Q(a)$Instanciación universal 2

6. $\qquad P(a) \land Q(a)$Conjunción 4,5

7. $\forall x (P(x) \land Q(x))$Generalización universal 6 (o: 3 a 6) (entonces, ¿por qué podemos hacer esto? Porque$a$se usó como una constante arbitraria!)

Generalización Existencial

Forma 'típica':

$P(a)$

$\therefore \exists x P(x)$

Explicación:

Al igual que la instanciación universal, la generalización existencial realmente debería ser sin restricciones: si$a$tiene propiedad$P$, entonces hay algo que tiene propiedad$P$, si$a$se utiliza para denotar un objeto específico o arbitrario.

Entonces, aquí no estoy seguro de por qué se establece esta restricción en su descripción de la regla ...

Instanciación existencial

Forma 'típica':

$\exists x P(x)$

$\therefore P(a)$... por una nueva constante$a$

Explicación:

OK, entonces en esta regla tenemos que tratar$a$¡muy cuidadosamente! Piénsalo: sabes que algo tiene propiedad$P$.. pero sabes lo que es? No. Entonces, ¿qué$a$está representando aquí, es "algún objeto que tiene la propiedad P... que sabemos que existe... pero no sabemos qué objeto específico es... así que llamémoslo$a$". Y nuevamente, como la Generalización Universal, es mejor contrastar el uso correcto de esta regla con uno incorrecto: Nuevamente, supongamos que usamos constante$c$para denotar a un individuo específico: Charlie. Ahora, supongamos que sabemos que$\exists Dog(x)$... podemos ahora inferir$Dog(c)$? ¡No! Porque aunque sabemos que algo es un perro, no sabemos si Charlie es un perro. Entonces, como la Generalización Universal, la$a$representa un objeto desconocido, pero esta vez, sabemos que$a$tiene propiedad$P$. Y eso también significa que$a$no es un objeto completamente arbitrario ... lo que significa que no podemos usarlo para una generalización universal.

Ejemplo:

1. $\exists x P(x)$Premisa

2. $\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))$

3. $P(a)$Eliminación existencial (buen uso de la regla, ya que$a$es una nueva constante)

4. $P(a) \rightarrow Q(a)$Instanciación universal 2

5. $Q(a)$Modus Ponens 3,4

6. $\exists x Q(x)$Generalización Existencial 5

Tenga en cuenta que tuvimos que hacer la línea 3 antes de la línea 4, porque si hubiéramos instanciado primero el universal con$a$, entonces no podríamos haber instanciado lo existencial con ese mismo$a$, desde el$a$está en más tiempo una nueva constante!

Vea esta publicación donde amplié mi respuesta original para brindar todas las reglas para un sistema de deducción natural de estilo Fitch fácil de leer que, en mi opinión, es más intuitivo que la mayoría de los otros sistemas formales. La razón es que no se necesitan indicadores ni subíndices en mi sistema, porque el contexto se mantiene explícitamente en la estructura de prueba y, por lo tanto, cualquier variable instanciada existencialmente no puede escapar del contexto en el que se declara. Aproximadamente, las reglas allí corresponden a sus principios como sigue:

• EI: ∃ elim.

• EG: ∃introducción.

• IU: ∀ elim.

• UG: ∀introducción.

Creo que si comprende el principio detrás de mi sistema, podrá descubrir fácilmente lo que está haciendo cualquier otro sistema. Por ejemplo, algunos sistemas utilizan subíndices para realizar un seguimiento del contexto de las variables instanciadas existencialmente, es decir, de qué depende. Esto puede ser confuso cuando las pruebas son largas. Por el contrario, mi sistema lo obliga a no poder extraer las variables declaradas en un subcontexto, exactamente de la misma manera que muchos lenguajes de programación modernos imponen el alcance de las variables.