Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria

Question

Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria

Trabajo
Física
convenciones
energía potencial
gravedad newtoniana
campo conservativo

lakhi

[Pregunta un poco larga]

Aquí en esta pregunta, necesito saber aclarar mis dudas sobre la Gravedad, más precisamente el Trabajo realizado por una Fuerza Conservadora (aquí, la fuerza gravitacional) .

Ok, supongamos que hay un objeto mintiendo. Ignore cualquier fuerza de amortiguamiento como la fricción, etc.
Ahora, suponga que una fuerza (podría ser una fuerza conservativa o no conservativa ) actúa sobre el objeto. Se desplaza de su posición.

Ahora, si el desplazamiento es en la dirección de esa fuerza , entonces el trabajo realizado por la fuerza es Positivo .
Y, si el desplazamiento es en dirección opuesta a esa fuerza , entonces el trabajo realizado por la fuerza es Negativo .

Creo que las declaraciones anteriores son ciertas para cualquier tipo de fuerza ( conservadora/no conservativa ).

Ahora, llegaremos a la parte principal de la pregunta.

1ra parte

Supongamos que una masa m está en el punto P, a una distancia de r de otra masa M.
La masa m experimentará una fuerza gravitatoria, $\vec{F_g}$ hacia la masa M.

Ahora, una fuerza externa $\vec{F}$ actúa sobre el objeto de masa m que lo mueve a $\infty$ .
Suponga un pequeño vector de desplazamiento $d\vec{r}$ en dirección de la fuerza externa $\vec{F}$ para el cual no hay cambio en la fuerza gravitatoria, $\vec{F_g}$ . Además, considere un vector unitario $\hat{r}$ en la dirección de la fuerza externa $\vec{F}$ .

Sea dW _g el trabajo realizado por la gravedad para este pequeño desplazamiento, $d\vec{r}$ .

dW _g = $\vec{F_g}\cdot d\vec{r}$ = F _g dr cos 180°

dW _g = - F _g dr ----------- Ec.(1)

Entonces, creo que la fuerza gravitacional, $\vec{F_g}$ está haciendo trabajo negativo y la fuerza externa, $\vec{F}$ está haciendo el mismo trabajo positivo debido a la única razón de que el desplazamiento del objeto es en la dirección de la fuerza externa y opuesta a la fuerza gravitacional .

Ahora, $\vec{F_g}$ = - $\vec{F}$ = $\frac{GMm}{r^2}$ $\hat{r}$

Entonces, en la ecuación (1)

\int d W_{gramo} = \int_{r}^{\infty} - F_{gramo} d r

$\int \, dW_g = \int_r^\infty - F_g \, dr$

W_{gramo} = \int_{r}^{\infty} \frac{- GRAMO METRO metro}{r^{2}} d r

$W_g= \int_r^\infty \frac{-GMm}{r^2} \, dr$

W_{gramo} = - GRAMO METRO metro \int_{r}^{\infty} \frac{1}{r^{2}} d r

$W_g= -GMm \int_r^\infty \frac{1}{r^2} \, dr$

W_{gramo} = - GRAMO METRO metro [\frac{- 1}{r}]_{r}^{\infty}

$W_g= -GMm \biggl[\frac{-1}{r}\biggr]_r^\infty$

W_{gramo} = - GRAMO METRO metro [\frac{- 1}{\infty} - \frac{- 1}{r}]

$W_g= -GMm \biggl[\frac{-1}{\infty}-\frac{-1}{r}\biggr]$

W_{gramo} = \frac{- GRAMO METRO metro}{r}

$W_g= \frac{-GMm}{r}$

Entonces,

W_{gramo} = \int_{r}^{\infty} - F_{gramo} d r = \frac{- GRAMO METRO metro}{r}

$W_g = {\color{red}{\int_r^\infty - F_g \, dr}} = {\color{green}{\frac{-GMm}{r}}}$

Las 2 ecuaciones anteriores están de acuerdo. Ambas ecuaciones, una en color rojo y otra en color verde , darán trabajo negativo realizado por la fuerza gravitacional .

2da Parte

Ahora, consideraremos que el objeto de masa m está en $\infty$ . Además, el objeto se toma de $\infty$ al punto P que está nuevamente, a la distancia r de la masa, M.
Esta vez, el pequeño vector de desplazamiento $d\vec{r}$ estará en la dirección de la fuerza gravitacional $\vec{F_g}$ . Además, el vector unitario $\hat{r}$ está en la misma dirección también. Por lo tanto,

$\vec{F_g} = \frac{GMm}{r^2}\hat{r}$

Entonces, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria será

dW _g = $\vec{F_g}\cdot d\vec{r}$ = F _g dr cos 0°

dW _g = F _g dr ----------- Ec.(2)

Aquí, la fuerza de la gravedad, $\vec{F_g}$ hará un trabajo positivo porque el desplazamiento del objeto es en la dirección de la fuerza gravitatoria.

Entonces, en la ecuación (2),

\int d W_{gramo} = \int_{\infty}^{r} F_{gramo} d r

$\int \, dW_g = \int_\infty^r F_g \, dr$

W_{gramo} = \int_{\infty}^{r} \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} d r

$W_g = \int_\infty^r \frac{GMm}{r^2} \, dr$

W_{gramo} = GRAMO METRO metro \int_{\infty}^{r} \frac{1}{r^{2}} d r

$W_g = GMm \int_\infty^r \frac{1}{r^2} \, dr$

W_{gramo} = GRAMO METRO metro [\frac{- 1}{r}]_{\infty}^{r}

$W_g = GMm \biggl[\frac{-1}{r}\biggr]_\infty^r$

W_{gramo} = GRAMO METRO metro [\frac{- 1}{r} - \frac{- 1}{\infty}]

$W_g = GMm \biggl[\frac{-1}{r}-\frac{-1}{\infty}\biggr]$

W_{gramo} = \frac{- GRAMO METRO metro}{r}

$W_g = \frac{-GMm}{r}$

Entonces,

W_{gramo} = \int_{\infty}^{r} F_{gramo} d r = \frac{- GRAMO METRO metro}{r}

$W_g = {\color{blue}{\int_\infty^r F_g \, dr}} = {\color{green}{\frac{-GMm}{r}}}$

Entonces, finalmente mi duda: -

La ecuación azul dice que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es positivo (porque el vector de desplazamiento está en la misma dirección que la fuerza gravitatoria).
Pero, después de integrarlo, tenemos la misma ecuación verde que derivamos antes que nos dice que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es negativo .

Ahora, si observamos las ecuaciones roja y azul , ambas son iguales, simplemente integrando el término en orden opuesto.
Y sabemos que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, por lo que, ya sea la azul o la roja , el trabajo de la gravedad será el mismo que está dado por la ecuación verde .

Pero al final, mi duda es por qué las ecuaciones azul y verde son inconsistentes entre sí (el azul dice que el trabajo por gravedad es positivo mientras que el verde dice que el trabajo por gravedad es negativo).

qmecanico

Más sobre la convención de signos para la energía potencial gravitacional .

Respuestas (2)

Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria

Más sobre la convención de signos para la energía potencial gravitacional .

eranreches · Answer 1

Coloquemos la masa estacionaria $M$ un el origen. En ambos casos la fuerza gravitacional es hacia el origen y viene dada por

{\vec{F}}_{gramo} = - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} \hat{r}

$\vec{F}_{g}=-\frac{GMm}{r^{2}}\hat{r}$

Así, en el primer caso, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es

W_{r \to \infty} = \int_{r}^{\infty} {\vec{F}}_{gramo} \cdot \vec{d r} = - \int_{r}^{\infty} \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} d r = - \frac{GRAMO METRO metro}{r}

$W_{r\rightarrow\infty}=\int_{r}^{\infty}\vec{F}_{g}\cdot\vec{dr}=-\int_{r}^{\infty}\frac{GMm}{r^{2}}dr=-\frac{GMm}{r}$

Por otro lado, en el segundo caso solo necesitamos barrer los límites de integración

W_{\infty \to r} = \int_{\infty}^{r} {\vec{F}}_{gramo} \cdot \vec{d r} = - \int_{\infty}^{r} \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} d r = \frac{GRAMO METRO metro}{r}

$W_{\infty\rightarrow r}=\int_{\infty}^{r}\vec{F}_{g}\cdot\vec{dr}=-\int_{\infty}^{r}\frac{GMm}{r^{2}}dr=\frac{GMm}{r}$

que es exactamente lo contrario, y las señales son justo lo que has anticipado. Una cosa importante a tener en cuenta es que también en ambos casos

\vec{d r} = d r \hat{r}

$\vec{dr}=dr\hat{r}$

y el signo lo marcan los límites de integración. Entonces en el primer caso $dr>0$ y en el segundo $dr<0$ (de una manera muy informal). Ignoraste este hecho cuando escribiste $\cos\left(180^{\circ}\right)$ en el producto punto en el segundo caso.

He escrito cos 0 en el segundo caso. En el segundo caso, he tomado la dirección de $d\vec{r}$ a lo largo de la fuerza $\vec{F_g}$ porque la fuerza está actuando hacia la masa, M (en el origen) y el desplazamiento de la masa, m también es hacia la masa, M. Entonces, ¿por qué no cambiaste la dirección de $d\vec{r}$ en el segundo caso? Además, si estoy completamente de acuerdo contigo, ¿entonces la naturaleza conservadora de la gravedad no está satisfecha en tu publicación?
Mi duda es que la ecuacion verde esta satisfaciendo la propiedad conservativa de la fuerza gravitatoria pero a la vez no es consistente con la ecuacion azul
@lakhi Con respecto a tu primer comentario, no cambié la dirección de $dr$ porque eso es lo que hace el límite de integración. $dr$ es un elemento de línea en la dirección radial, y su signo (dirección) es: más por integración desde $r$ hasta el infinito, y menos para la integración desde el infinito hasta $r$ . Entonces, si está de acuerdo con lo que he escrito, ¿por qué la gravedad no es conservadora? Puede ver claramente que el trabajo realizado en lazos cerrados es cero, ya que $W_{r\rightarrow\infty}+W_{\infty\rightarrow r}=0$ . Con respecto a tu segundo comentario, no entiendo completamente lo que quieres decir.
si miras solo la ecuación azul, la ecuación concluye que la gravedad está haciendo un trabajo positivo (¿por qué?) porque proviene de la segunda ecuación y en la segunda ecuación, el ángulo entre la fuerza, $\vec{F_g}$ y desplazamiento, $d\vec{r}$ es 0° . Ahora, la ecuación azul es igual a la ecuación verde y en la ecuación verde hay un signo negativo y por lo tanto, dice que la gravedad está haciendo un trabajo negativo. Por eso digo que el azul no es consistente con la ecuación verde.
Las ecuaciones azul y verde son consistentes (aunque su cálculo en el segundo caso no es correcto), porque integra 'hacia atrás'. Obsérvese que en general $\int _{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$ . Como dije, el producto escalar en ambos casos es el mismo, pero la dirección de integración es inversa. La dirección de integración encapsula la información sobre si ambos vectores apuntan en la misma dirección o en la dirección opuesta.
Hiciste dos cosas que se anulan y te llevaron a tener la misma respuesta en ambos casos. Tienes que tener más cuidado con las coordenadas. Primero, dices que hay un signo menos porque una vez tanto la fuerza como la trayectoria apuntan en la misma dirección y la otra vez en direcciones opuestas. En segundo lugar, hay un signo menos porque barrió el orden de integración. No puedes hacer ambas cosas. Es por eso que obtienes la misma respuesta en ambos casos.
@lakhi Abra una nueva pregunta y pregunte allí. Mantengamos enfocado este hilo sobre tu pregunta anterior. Se vuelve demasiado largo.

usuario325381 · Answer 2

En el segundo caso, al principio hiciste una multiplicación escalar y obtuviste el signo . Ahora todo se convierte en magnitud y no se permiten signos adicionales de integración. Podrías decir "¿por qué?" Recuerda la definición de multiplicación escalar. ${\vec A }{\cdot}{\vec B}={ABcos\theta}$ ¡Mira la magia! Después de la multiplicación escalar, solo obtienes la magnitud y el coseno da el signo. Entonces, en su segundo caso, realice la integración dentro de un módulo . y solo sigue $cos\theta$ afuera. Por lo tanto, obtienes un trabajo positivo.

Alerta: Este método puede no tener rigor matemático pero es poderoso

Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria

lakhi

1ra parte

2da Parte

Entonces, finalmente mi duda: -

qmecanico

Respuestas (2)

eranreches

lakhi

lakhi

eranreches

lakhi

eranreches

eranreches

eranreches

usuario325381

¿Por qué razón la diferencia de energía potencial ΔU=−WΔU=−W\Delta U=-W es igual al opuesto del trabajo realizado?

¿Tengo problemas para entender la energía potencial gravitatoria absoluta?

Diferencia de potencial gravitacional

Definición de energía potencial en términos de trabajo realizado

¿Por qué el trabajo realizado al mover una unidad de masa desde el infinito hasta un punto (donde existe un campo gravitatorio) es negativo?

Cuando escribimos que F=−∇VF=−∇VF = -\nabla V , ¿qué pasaría si omitiéramos el signo menos (-)

Relación entre fuerza conservativa y energía potencial

¿Cuál es el significado del signo negativo en W=−ΔUW=−ΔUW = -\Delta U?

Signos en prueba de energía potencial de gravitación (GPE)

Confusión con F=−∇VF=−∇VF=-\nabla V, FFF conservativo