Confusión con F=−∇VF=−∇VF=-\nabla V, FFF conservativo

Estoy bastante confundido por la relación. F = − ∇ V .

Si un bolígrafo cae desde una altura, pierde energía potencial, por lo que ∇ V es negativo De la ecuación anterior, esto significa que la fuerza gravitatoria que actúa sobre el bolígrafo es positiva, pero ¿no está actuando en dirección negativa (hacia abajo)?

Respuestas (2)

Creo que tu problema está en cómo entiendes el gradiente. Defina su eje z. Digamos que apunta hacia arriba. Ahora

V ( z ) = metro gramo z
. Por lo tanto, gradiente de V (z), es decir
∇ V ( z ) = metro gramo z ^
. Aquí,
z ^
es un vector unitario que apunta hacia arriba. Entonces la fuerza será un vector de longitud mg, apuntando hacia abajo, debido al signo menos.

¿Pero la pluma está cayendo, por lo que el potencial está disminuyendo?
De alguna manera estás confundiendo el movimiento temporal de la pluma con la definición de gradiente. Claro, la pluma se está moviendo en la dirección -z. Eso se debe a que el potencial está disminuyendo en la dirección -z. Por lo tanto, es creciente en la dirección z. El gradiente del potencial apunta a la dirección +z. La pendiente siempre apunta a la dirección de mayor pendiente. Por eso uno tiene el signo menos, porque queremos ir cuesta abajo.
Sí, cuando el bolígrafo cae desde un lugar alto a uno bajo, su energía potencial gravitatoria disminuye. ¿En qué alternativa estabas pensando?
Y eso se debe a que el potencial gravitatorio es menor en la ubicación más baja.

Creo que lo que falta son las definiciones de F y V .

Considere primero la definición de energía potencial. La energía potencial en un punto en relación con otro punto es el trabajo realizado por una fuerza externa (por ejemplo, la fuerza ejercida por usted sobre la masa, F → metro y ) al llevar la masa del primer punto al segundo punto.

Esa fuerza que ejerces sobre la masa al hacer el trabajo es igual y opuesta a la fuerza debida al campo gravitatorio (que sea producido por la Tierra) sobre la masa, F metro mi ya que no hay cambio en la energía cinética de la masa.

Entonces Δ V = F metro y ⋅ Δ r = − F metro mi ⋅ Δ r ⇒ Δ V Δ r = ∇ V = − F metro mi

Entonces, esta ecuación te dice que cuando levantas una masa aplicando una fuerza hacia arriba sobre la masa y la energía potencial de la masa aumenta, la fuerza debido a la atracción gravitatoria de la Tierra es hacia abajo.

Confusión con F=−∇VF=−∇VF=-\nabla V, FFF conservativo
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