Cuando escribimos que F=−∇VF=−∇VF = -\nabla V , ¿qué pasaría si omitiéramos el signo menos (-)

Tome un ejemplo 1D simple. Graficaremos la energía potencial gravitatoria en función de la posición horizontal para la ladera de una colina:

Normalmente definimos$F = -\nabla V$y eso significa que la fuerza apunta cuesta abajo, es decir, si dejamos ir la partícula, rodará cuesta abajo. Si en cambio definimos$F = \nabla V$la fuerza apuntaría hacia arriba, es decir, si soltáramos la partícula, rodaría hacia arriba.

Rodar cuesta abajo está bien porque la disminución de la energía potencial va acompañada de un aumento de la energía cinética, por lo que se conserva la energía total. Si la partícula rueda cuesta arriba, eso significa que tanto su energía cinética como su energía potencial están aumentando, por lo que se viola la conservación de la energía.

Una forma de ver el cambio es que está cambiando la definición de potencial de

El potencial en un punto es el trabajo realizado sobre una unidad de masa al pasar de un cero de potencial elegido arbitrariamente al punto

a

El potencial en un punto es el trabajo realizado por una unidad de masa al pasar de un cero de potencial elegido arbitrariamente al punto

Así que en la primera definición trabajas sobre la masa y en la segunda definición la masa trabaja sobre ti.

El gradiente de una función escalar siempre apunta en la dirección de mayor ascenso. Es decir, una función escalar tiene el aumento más rápido en esa dirección. Si imagina caminar alrededor de una montaña, el gradiente de la función de altura de la montaña en cada punto apuntará hacia la dirección más empinada.

Por otro lado, las fuerzas en un campo conservativo buscan minimizar la energía potencial. Por lo tanto, se mueven en la dirección de mayor descenso, que es la dirección opuesta al gradiente, de ahí el signo menos.

El gradiente de una función$\nabla V$es, como saben, un vector y este vector apunta al ascenso más empinado (localmente). es decir, si estás en la colina, el vector$\nabla V$apunta a la punta de la colina y cuando estás en la cima de la colina, el vector se desvanece porque no hay un "ascenso más pronunciado" en ese punto. Puedes probar este hecho matemáticamente pero omitiré la derivación.

Si tuvieramos$F = \nabla V$entonces introduciríamos un signo menos en el término potencial. por ejemplo, en lugar del potencial de Coloumb$V= a\, q Q /r$obtendríamos$V = - a\, q Q/r$, dónde$a$es una constante para que todo sea sensato y la ecuación en ambos casos sería$F = a \, q Q/r^2$. Matemáticamente no hay diferencia en ambos casos. Sin embargo, hay uno intuitivo. Mire las gráficas de los potenciales para los cuales ambas cargas son negativas o positivas.

En el primer caso, puedes imaginar una bola que se coloca en la curva azul en un campo gravitacional y simplemente rueda cuesta abajo, lo que representa muy bien la situación real, pero en el segundo caso ya no tienes esa intuición. Dado que la pelota en realidad va cuesta arriba porque eso es lo que$\nabla$supone que hacer. Se muestra en la dirección del ascenso más empinado.

Para resumir, el signo menos es apenas una convención para hacernos la vida más fácil y hacer que la física sea más intuitiva.

No hay consecuencias. Es una convención que negativo es para fuerzas de atracción y positivo es para repulsión. Esto conduce a fuerzas que tienden a reducir el potencial al atraer. Quitas ese signo, entonces las fuerzas de atracción son positivas, y las fuerzas tenderán a aumentar el potencial. Lo peor que podría pasar son algunas inconsistencias dentro de lo que sea que estés calculando, porque aceptamos esa convención en toda la física.

Tienes que pensar en la idea de que estamos modelando la naturaleza, lo que significa que le damos significado a estas ecuaciones, signos y números. No pasará nada si cambias el signo a menos que le des un significado que marque la diferencia.

Nota: Todo esto es mecánica clásica. La física moderna no es 100% simétrica dentro de tales cantidades.

Esto es lo mismo que cambiar$V$a$-V$. Por ejemplo, si$V$describió un pozo potencial y luego lo cambió a$-V$describiría un golpe.