Trabajo realizado por expansión isotérmica desde dos puntos de vista diferentes

Question

Trabajo realizado por expansión isotérmica desde dos puntos de vista diferentes

Gerardo

Considere un sistema adiabático como sigue. Consiste en un gas en un recipiente y un pistón. Inicialmente, el sistema está en equilibrio y el gas en su interior ocupa un volumen $V_i$ a una presión $p_i$ que es igual a la presión exterior. De repente, la presión exterior cambia y se reduce a $p_{atm}$ . El pistón se mueve para igualar la presión y el gas se expande isotérmicamente para alcanzar el equilibrio. El gas ahora ocupa un volumen $V_f$ a una presión de $p_f$ que es igual a $p_{atm}$

Ahora, dos libros de texto que tengo definen el trabajo realizado desde dos puntos de vista diferentes.

1: Desde los miradores de los alrededores :

El trabajo realizado sobre el sistema por los alrededores es igual a $-p_{atm}\Delta V$ . Desde $p_{atm}$ es prácticamente constante para todo el proceso, podemos decir que el trabajo realizado es igual a:

\begin{matrix} (1) & W_{1} = - {pag}_{a t metro} (V_{F} - V_{i}) \end{matrix}

$W_1 = -p_{atm}(V_f - V_i)\tag1$

2: Desde el punto de vista del sistema:

Podemos escribir la presión interna del sistema en función de su volumen: $p_{in}(V)$ . Como durante la expansión, la presión interna cambia, el trabajo realizado por el sistema es igual a

W_{2} = \int_{V_{i}}^{V_{F}} {pag}_{i norte} (V) d V

$W_2 = \int_{V_i}^{V_f}p_{in}(V)dV$

Ahora, no sé qué definición usar. El trabajo que realiza el sistema (de la definición 2) se realiza sobre los alrededores. Pero, ¿qué pasa con el trabajo negativo que el entorno hizo sobre el sistema? ¿Adónde se fue esa energía? Tal vez, las dos definiciones expresan lo mismo: el trabajo realizado por el sistema. El signo negativo en la definición 1 significa que el trabajo lo realiza el sistema. Pero eso significaría que

W_{1} = W_{2}

$W_1 = W_2$

podemos simplificar $W_2$ como sigue. Claramente,

{pag}_{i norte} (V) = \frac{{pag}_{i} V_{i}}{V}

$p_{in}(V) = \frac{p_iV_i}{V}$

\begin{matrix} (2) & W_{2} = \int_{V_{i}}^{V_{F}} \frac{{pag}_{i} V_{i}}{V} d V = {pag}_{i} V_{i} en \frac{V_{F}}{V_{i}} \end{matrix}

$W_2 = \int_{V_i}^{V_f}\frac{p_iV_i}{V}dV = p_iV_i \ln{\frac{V_f}{V_i}} \tag2$

La presión interna cuando el volumen es igual a $V_f$ es $p_{atm}$

⟹ {pag}_{a t metro} = {pag}_{i norte} (V_{F}) = \frac{{pag}_{i} V_{i}}{V_{F}}

$\implies p_{atm} = p_{in}(V_f) = \frac{p_iV_i}{V_f}$

⟹ V_{F} = \frac{{pag}_{i} V_{i}}{{pag}_{a t metro}}

$\implies V_f = \frac{p_iV_i}{p_{atm}}$

Poniendo esto en $(1), (2)$ Nos da,

W_{2} = {pag}_{i} V_{i} en \frac{{pag}_{i}}{{pag}_{a t metro}}

$W_2 = p_iV_i\ln{\frac{p_{i}}{p_{atm}}}$

W_{1} = - {pag}_{a t metro} (\frac{{pag}_{i} V_{i}}{{pag}_{a t metro}} - V_{i}) = - V_{i} ({pag}_{a t metro} - {pag}_{i})

$W_1 = -p_{atm}\left(\frac{p_iV_i}{p_{atm}} - V_i\right) = -V_i(p_{atm} - p_i)$

Considere algunos valores. Dejar $p_i = 5 \ \rm{Pa}, V_i = 1 \ \rm{m^3}, p_{atm} = 1 \ \rm{Pa}$ .

W_{1} = - 1 \cdot (1 - 5) = 4

$W_1 = -1\cdot(1-5) = 4$

W_{2} = 1 \cdot 1 \cdot en \frac{5}{1} = 1.609

$W_2 = 1\cdot1\cdot\ln{\frac{5}{1}} = 1.609$

¿Dónde estoy cometiendo un error?

Mirc Breitschuh

Cuando su sistema es adiabático, el gas en el recipiente se expandirá isoentrópicamente en lugar de isotérmicamente, si no hay fricción.

Respuestas (2)

Trabajo realizado por expansión isotérmica desde dos puntos de vista diferentes

Cuando su sistema es adiabático, el gas en el recipiente se expandirá isoentrópicamente en lugar de isotérmicamente, si no hay fricción.

N. Virgo · Answer 1

Su propia respuesta está en la línea correcta: la clave es que este no es un proceso cuasiestático, y el sistema se sale del equilibrio.

Sin embargo, en la práctica, el pistón probablemente no se moverá tan rápido que no pueda definir la presión en absoluto. En cambio, el sistema perderá energía igual a $W_2$ (en una buena aproximación), y el medio ambiente ganará energía igual a $W_1$ . La diferencia entre los dos se encontrará en el propio tapón del pistón, en forma de energía cinética.

Como el pistón tiene energía, seguirá moviéndose, expandiendo el gas. Luego, la diferencia de presión desacelerará el pistón hasta que comience a moverse hacia el otro lado, y así sucesivamente, lo que provocará oscilaciones. Gradualmente, dejará de oscilar, debido a la disipación por fricción (ya sea dentro del propio gas, o por fricción entre el pistón y su alojamiento). Dado que el sistema es isotérmico, el calor resultante irá a los alrededores.

El resultado final es que, después de que el pistón deja de oscilar, el pistón ha realizado una cantidad de trabajo $W_1$ sobre el entorno, pero también ha desprendido una cantidad de calor igual a $W_2 - W_1$ , y por lo tanto su energía interna ha cambiado por $W_2$ .

¡Nataniel tiene la respuesta correcta! Solo agrego a esto que en general siempre se puede decir para cualquier proceso que $dU=\delta Q + \delta W = TdS-pdV$ . Aquí $U,T,S,p,V$ son las variables de estado del sistema y $\delta Q, \delta W$ son la transferencia de calor impartida externamente y el trabajo sobre el sistema. La igualdad se cumple siempre, pero solo en un proceso reversible, es cierto que $\delta Q=TdS$ y $\delta W = -pdV$ . Cuando en cambio el proceso es irreversible se tiene $\delta Q < TdS$ y $\delta W > -pdV$ . La diferencia $\delta W+pdV>0$ es la energía disipada internamente.

Gerardo · Answer 2

Después de pensar un poco, obtuve la respuesta. Cuando disminuya la presión ambiental de $p_i$ a $p_{atm}$ , el sistema se sale del equilibrio, por lo que la expansión del gas no es casi estática. Entonces, todas las variables de estado como la presión y el volumen no están definidas. Entonces no podemos usarlos para calcular el trabajo realizado en la definición 2.

Trabajo realizado por expansión isotérmica desde dos puntos de vista diferentes

Gerardo

Mirc Breitschuh

Respuestas (2)

N. Virgo

hyportnex

Gerardo

Equivalencia calor-trabajo en termodinámica de gases ideales

¿Qué significa el trabajo en termodinámica en comparación con otras partes de la física?

Compresión isotérmica sin depósito de calor

Gráfico p vs V - pregunta de dependencia

¿Por qué se utiliza CVCVC_V en el trabajo adiabático de un gas ideal?

Trabajo realizado en un sistema termodinámico (cilindro con pistón) [cerrado]

Energía interna de un gas ideal en función del volumen.

Trabajo realizado por un gas ideal en un proceso reversible que no es isobárico, isocórico, isotérmico, adiabático

¿Cómo deducir que δw=−PdVδw=−PdV\delta w = - PdV?

¿Por qué una expansión isotérmica requiere más energía?