¿Por qué una expansión isotérmica requiere más energía?

Digamos que tenemos dos cilindros completamente idénticos de algún gas ideal (mismo$P,V,T,n$, etc...), y solo queremos duplicar el volumen de cada uno.

primer cilindro

El primer cilindro sufre una expansión isotérmica reversible simple, de$V_i$a$2V_i$(y de la misma manera,$P_i \to P_i/2$). El trabajo realizado es solo

$$W = P_i V_i \ln \left(V_f/V_i\right) = P_i V_i \ln 2 = nRT_i \ln 2$$ Pero como se trata de un proceso isotérmico,$\Delta U = 0$, y por lo tanto por la primera ley, el medio ambiente tiene que suministrar$Q_1 = W = P_i V_i \ln 2$al sistema para que este proceso ocurra.

segundo cilindro

El segundo cilindro pasa por dos pasos:

1. Una expansión adiabática reversible de$V_i \to 2V_i$. Entonces, el trabajo realizado será

   $$W = \frac{P_iV_i^\gamma \left(V_f^{1-\gamma} - V_i^{1-\gamma}\right)}{1-\gamma} = P_i V_i \left(\frac{2^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}\right)$$ Y, dado que este es un proceso adiabático, el medio ambiente no transfiere calor/energía, por lo que el sistema pierde$\Delta U = -W = -P_i V_i \left(\frac{2^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}\right)$de su energía interna para realizar este trabajo.

2. Un calentamiento isocórico reversible hasta la temperatura inicial original$T_i$. Dado que, debido al paso anterior, el sistema acaba de perder

   $$\Delta U = -W = -P_i V_i \left(\frac{2^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}\right)$$ entonces todo lo que tenemos que hacer para que el sistema vuelva a su energía/temperatura interna original es tener el suministro ambiental$Q_2 = P_i V_i \left(\frac{2^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}\right)$volver al sistema.

Pregunta

En ambos procesos, tenemos algunos cilindros que migran desde algún estado inicial$\left(P_i,V_i\right)$a un estado final de$\left(P_i/2, 2V_i\right)$. En ambos procesos, los puntos inicial y final son los mismos, y ninguno de los sistemas tiene un aumento o una disminución netos en su energía interna. Entonces, para ambos casos, el medio ambiente debe suministrar toda la energía de todos modos (en forma de calor) para hacer todo. Pero, la relación de Mayer establece que$\gamma = C_p/C_v = \left(C_v + R\right)/C_v$, lo que implica

$$Q_1 = P_i V_i \ln 2 \ne Q_2 = P_i V_i \left(\frac{2^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}\right)$$

¿Por qué esto es tan? ¿Por qué la energía suministrada por el entorno para expandir el cilindro 1 tiene que ser diferente a la energía suministrada para expandir el cilindro 2? ¡No hay cambio neto en la energía interna de ninguno de los sistemas y los puntos inicial y final para cada sistema son idénticos! Entonces, ¿por qué el medio ambiente tiene que suministrar diferentes cantidades de energía para uno u otro? ¿Hay una "irreversibilidad" oculta aquí que me estoy perdiendo? Creo que todos los procesos que mencioné se pueden hacer de manera reversible.

Editar: de hecho, para hacer$Q_1 = Q_2$, debemos violar la Relación de Mayer y tener

$$\gamma = 1 - \lg \left(1 -\frac{R\ln 2}{C_v}\right) \ne \frac{C_v + R}{C_v}$$ Me parece que el entorno "tiene que" suministrar la misma cantidad de energía a ambos cilindros en aras de la conservación de la energía (ya que ninguno de los cilindros tiene un cambio neto en la energía interna, sino que pasa de un estado inicial idéntico a uno final idéntico). Por extraño que parezca, la transferencia de entropía tanto para el cilindro 1 (isotérmico) como para el cilindro 2 (adiabático + isocórico) es idéntica, sin embargo, si la relación de Mayer es cierta.