Trabajando con índices de tensores en relatividad especial

Question

Trabajando con índices de tensores en relatividad especial

yosignificayo

Estoy tratando de entender la notación tensorial y trabajar con índices en relatividad especial. Utilizo un libro para este propósito en el que $\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}$ se utiliza para el tensor métrico y se transforma un vector según la regla

X^{' m} = Λ^{m}_{α} X^{α}

$x'^\mu= \Lambda^\mu{}_{\alpha}x^\alpha$ (Transformación de Lorentz).

Creo que entiendo lo que está pasando hasta este punto, pero ahora me cuesta entender cómo funciona la siguiente fórmula:

η_{v m} Λ^{m}_{α} η^{α k} = Λ_{v}^{k}

$\eta_{\nu\mu}\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\eta^{\alpha\kappa} ~=~ \Lambda_{\nu}{}^{\kappa}$

¿Por qué esto no es igual a (por ejemplo) $\Lambda^{\kappa}{}_{\nu}$ ? Además, tengo problemas para entender cuál es la diferencia entre $\Lambda_\alpha^{\ \ \beta}$ , $\Lambda_{\ \ \alpha}^\beta$ , $\Lambda^\alpha_{\ \ \beta}$ y $\Lambda^{\ \ \alpha}_\beta$ (orden y posición de los índices). Y si escribimos los tensores como matrices, ¿qué índices representan las filas y cuáles representan las columnas?

Espero que alguien me pueda aclarar esto.

akoben

Puede que le ayude a pensar en estos como

Λ_{ν}^{κ} = η_{ρ ν} Λ^{ρ κ}

$\Lambda_\nu^\kappa = \eta_{\rho\nu}\Lambda^{\rho\kappa}$

yosignificayo

Gracias por su respuesta, pero ¿cómo explica esto el orden y la posición de los índices?

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/158309/2451 , physics.stackexchange.com/q/169762/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

Trabajando con índices de tensores en relatividad especial

Puede que le ayude a pensar en estos como $\Lambda_\nu^\kappa = \eta_{\rho\nu}\Lambda^{\rho\kappa}$
Gracias por su respuesta, pero ¿cómo explica esto el orden y la posición de los índices?
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/158309/2451 , physics.stackexchange.com/q/169762/2451 y enlaces allí.

amigojohn · Answer 1

Con la notación de índices de tensor, cada "ranura" es distinta y se puede subir y bajar por separado. Entonces $\eta^{\kappa\alpha}\Lambda^\mu_{\ \ \alpha} = \Lambda^{\mu\kappa}$ . Entonces $\Lambda^{\mu\kappa}\eta_{\mu\nu} = \Lambda_\nu^{\ \ \kappa}$ .

Al representar estos objetos como matrices, la convención habitual es que el primer índice es la fila y el segundo es la columna.

Tenga cuidado de apegarse a la convención al convertir una ecuación de notación tensorial en álgebra lineal con su representación matricial. Si tuviéramos una ecuación como $A_{ij} = C^{k}{}_{j}B_{ik}$ , podríamos representarlo con matrices $\bf{A}= \bf{B}\bf{C}$ . Observe el intercambio para que la multiplicación de la matriz represente correctamente la ecuación (si observa los cuatro índices de los componentes del tensor multiplicados, debería verse como si los dos internos estuvieran repetidos... en este caso $B_{ik}C^{k}{}_{j}$ ).

Trabajando con índices de tensores en relatividad especial

yosignificayo

akoben

yosignificayo

qmecanico

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amigojohn

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