Matrices y Tensores (Ejemplo en relatividad especial)

Question

Matrices y Tensores (Ejemplo en relatividad especial)

Física
notación
convenciones
tensor-métrico
cálculo tensorial
relatividad especial

figarozo

Estaba estudiando relatividad especial y encontré esta derivación de las transformaciones de Lorentz

(\begin{array}{cccc} X^{' 0} \\ X^{' 1} \\ X^{' 2} \\ X^{' 3} \end{array}) = (\begin{array}{cccc} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{cccc} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{cccc} x'^0 \\ x'^1 \\ x'^2\\ x'^3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma \beta & 0& 0 \\ -\gamma \beta &\gamma &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} x^0 \\ x^1 \\ x^2\\ x^3 \end{array} \right) \end{equation}$

y luego denota

Λ^{m}_{v} = (\begin{array}{cccc} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

$\begin{equation} Λ^μ{}_ν= \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma \beta & 0& 0 \\ -\gamma \beta &\gamma &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation}$ como la matriz de transformación de lorentz. Si ese es el caso, ¿qué matriz es, por ejemplo?

Λ_{ν μ}

$Λ_{νμ}$ o

Λ^{ν μ}

$Λ^{νμ}$ o incluso

Λ_{μ}^{ν}

$Λ_μ^ν$ . Estoy confundido acerca de qué matriz es cuál.

¿Alguien para aclarar?

Además, ¿cómo sé qué índice tiene el primer significado? $Λ_{ν}{}^{\ μ}$ o $Λ^μ{}_{\ ν}$ ?

Le agradeceré si tiene alguna referencia para verificar estos.

usuario146020

Hola, has leído esto en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation

Respuestas (1)

Matrices y Tensores (Ejemplo en relatividad especial)

Hola, has leído esto en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation

alejandro menaya · Answer 1

Por lo general, para un tensor 2d ${\Lambda_\mu}^\nu$ el primer índice ( $\mu$ ) se refiere a filas mientras que el segundo ( $\nu$ ) a columnas. Una transformación de Lorentz se verá entonces como:

X^{' m} = {Λ_{v}}^{m} X^{v}

$x'^\mu={\Lambda_\nu}^\mu x^\nu$

Cuando transpones la matriz, las filas y las columnas se intercambian $[{\Lambda_\mu}^\nu]^T={\Lambda^\nu}_\mu$

El tensor métrico $\eta_{\mu\nu}$ proporciona un isomorfismo natural entre la tangente (espacio de vectores) y el espacio cotangente (espacio de formas 1), por lo que nos permite "bajar" y "subir" los índices.

Λ_{m v} = η_{v σ} {Λ_{m}}^{σ} \Rightarrow Λ_{00} = η_{0 σ} {Λ_{0}}^{σ} etcétera Λ^{m v} = η^{m σ} {Λ_{σ}}^{v} \Rightarrow Λ^{00} = η^{0 σ} {Λ_{σ}}^{0} etcétera

$\Lambda_{\mu\nu} = \eta_{\nu\sigma}{\Lambda_\mu}^\sigma \Rightarrow \Lambda_{00} = \eta_{0\sigma}{\Lambda_0}^\sigma\qquad\mbox{and so on}\\ \Lambda^{\mu\nu} = \eta^{\mu\sigma}{\Lambda_\sigma}^\nu\Rightarrow\Lambda^{00} = \eta^{0\sigma}{\Lambda_\sigma}^0\qquad\mbox{and so on}$ Usando la misma notación y

η_{μ ν} = d i a g (- 1, 1, 1, 1) = η^{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)=\eta^{\mu\nu}$ :

Λ_{m v} = η_{v σ} {Λ_{m}}^{σ} = (\begin{matrix} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & - γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$\Lambda_{\mu\nu} = \eta_{\nu\sigma}{\Lambda_\mu}^\sigma = \left(\begin{matrix} \gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\ \gamma\beta & -\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)$

Es posible trabajar únicamente con notación matricial, y hay buenos libros sobre este tema (por ejemplo, Einstein in Matrix Form de Günter Ludyk), sin embargo, es útil considerar un tensor como una lista de componentes etiquetados por índices y usar sumas en su lugar. A First Course in General Relativity de Bernard Schutz, especialmente los capítulos 1, 2, 5 y 6, es un buen libro para ejercitar con la notación de índice y brinda una descripción general simple pero útil del cálculo tensorial.

Creo que la notación estándar es $x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$ y $[{\Lambda^\mu}_\nu]^T={\Lambda_\nu}^\mu$ .

Matrices y Tensores (Ejemplo en relatividad especial)

figarozo

usuario146020

Respuestas (1)

alejandro menaya

Saksith Jaksri

¿Por qué no es (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

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