Aumento y disminución de los índices de los símbolos de Levi-Civita (+---) ¿métrica?

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Aumento y disminución de los índices de los símbolos de Levi-Civita (+---) ¿métrica?

Jagerber48

Aquí hay algunas preguntas con respecto a los índices superior e inferior del símbolo de levi-civita, pero no he podido encontrar una respuesta a mi pregunta exacta. Estoy trabajando en un problema donde empiezo en el espacio de Minkowski usando la métrica (+---) porque por alguna razón pensé que era una buena idea. Probablemente podría responder a mi pregunta cambiando a la métrica (-+++), pero todavía tengo curiosidad sobre cuál es la respuesta a mi pregunta SIN cambiar de métrica, es decir, quiero mantener la métrica (+---).

Además, en mi problema, estoy cometiendo un pecado de relatividad especial al dividir explícitamente mis ecuaciones en partes temporales y espaciales. Mi pregunta es en este tipo de situación, ¿cómo debo escribir el producto vectorial de dos (tres) vectores, $\vec{A}$ y $\vec{B}$ . Para ser un poco explícito sobre lo que quiero decir:

A = [\begin{matrix} A^{0} \\ A^{1} \\ A^{2} \\ A^{3} \end{matrix}] \vec{A} = [\begin{matrix} A^{1} \\ A^{2} \\ A^{3} \end{matrix}]

$\textbf{A} = \begin{bmatrix}A^0\\A^1\\A^2\\A^3\end{bmatrix} \hspace{1 in} \vec{A} = \begin{bmatrix}A^1\\A^2\\A^3\end{bmatrix}$

quiero calcular $\vec{A} \times \vec{B}=\vec{C}$ . Si estuviera siendo ingenuo e ignorando la convención de Einstein y las convenciones métricas, simplemente escribiría:

C_{i, norte a i v mi} = ϵ_{i j k} A_{j} B_{k}

$C_{i,naive} = \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k}$

{\vec{C}}_{norte a i v mi} = \sum_{i} C_{i, norte a i v mi} {\hat{X}}_{i} = (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) {\hat{X}}_{1} + (- A_{1} B_{3} + A_{3} B_{1}) {\hat{X}}_{2} + (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1}) {\hat{X}}_{3}

$\vec{C}_{naive} = \sum_i C_{i,naive} \hat{x}_i = \\(A_2 B_3 - A_3B_2)\hat{x}_1 + (-A_1 B_3 + A_3B_1)\hat{x}_2 + (A_1 B_2 - A_2B_1)\hat{x}_3$ Sin embargo, esto no obedece a la notación de Einstein donde los índices superior e inferior deben coincidir y también he reducido algunos índices sin preocuparme de si debería estar cambiando los signos de las cosas. Si quisiera hacer coincidir los índices, tal vez escribiría:

C^{i} = ϵ^{i}_{j k} A^{j} B^{k}

$C^{i} = \epsilon^i{}_{jk} A^{j} B^{k}$ Aquí es donde me confundo. Cómo es

ϵ^{i}_{j k}

$\epsilon^i{}_{jk}$ definido o cómo debería estar definiéndolo? Por un lado quiero

{\vec{C}}_{E i n} = C^{i} {\hat{x}}_{i} = {\vec{C}}_{n a i v e}

$\vec{C}_{Ein} = C^{i}\hat{x}_i = \vec{C}_{naive}$ en cuyo caso tendria eso

ϵ_{i j k} = ϵ^{i}_{j k}

$\epsilon_{ijk} = \epsilon^i{}_{ jk}$ Sin embargo, por otro lado siento que

ϵ^{i}_{j k} = g^{i l} ϵ_{l j k}

$\epsilon^i{}_{jk} = g^{il}\epsilon_{ljk}$ pero desde

i

$i$ toma los valores del 1 al 3 y estamos en la métrica (+---) esto implicaría que

ϵ^{i}_{j k} = - ϵ_{i j k}

$\epsilon^{i}{}_{jk} = -\epsilon_{ijk}$

¿Cuál es la forma correcta de hacer las cosas aquí? ¿Debería definir el producto cruzado de manera diferente? Sé que hay algo sobre el símbolo de levi-civita frente al tensor de levi-civita, pero eso parece demasiado detallado y poderoso para lo que estoy tratando de hacer aquí. También sé que hay algo sobre un sistema de coordenadas para zurdos frente a uno para diestros.

gentil

De hecho es cierto que

ϵ_{j k}^{i} = - ϵ_{i j k}

$\epsilon^{i}_{\phantom{i}jk} = -\epsilon_{ijk}$ . ¿Por qué te desconcierta esto?

Jagerber48

¿Sería cierto si estuviera en la métrica (-+++)? Estoy confundido porque parece introducir un signo menos relativo en la definición del producto cruzado en comparación con lo que esperaría en el espacio euclidiano (a diferencia de Minkowski).

gentil

Sí, hay un signo menos adicional cuando se usan índices covariantes y contravariantes. la notación

(a \times b)_{i} = ϵ_{i j k} a_{j} b_{k}

$(a\times b)_i= \epsilon_{ijk}a_j b_k$ solo es válido en métrica euclidiana (ya que, en general, los componentes contravariantes de un vector difieren de los covariantes correspondientes por un

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ coeficiente de multiplicación).

Respuestas (3)

Aumento y disminución de los índices de los símbolos de Levi-Civita (+---) ¿métrica?

De hecho es cierto que $\epsilon^{i}_{\phantom{i}jk} = -\epsilon_{ijk}$ . ¿Por qué te desconcierta esto?
¿Sería cierto si estuviera en la métrica (-+++)? Estoy confundido porque parece introducir un signo menos relativo en la definición del producto cruzado en comparación con lo que esperaría en el espacio euclidiano (a diferencia de Minkowski).
Sí, hay un signo menos adicional cuando se usan índices covariantes y contravariantes. la notación $(a\times b)_i= \epsilon_{ijk}a_j b_k$ solo es válido en métrica euclidiana (ya que, en general, los componentes contravariantes de un vector difieren de los covariantes correspondientes por un $g^{\mu\nu}$ coeficiente de multiplicación).

Jagerber48 · Answer 1

De acuerdo. Voy a poner mi respuesta como una respuesta a mi pregunta, ya que incluye información nueva que encontré y quiero documentar aquí. Parte de mi confusión se debe al hecho de que diferentes autores usan una notación diferente con respecto a la transición de los símbolos de Levi-Civita o las densidades de tensores ( $\tilde{\epsilon}$ ) y tensores de Levi-Civita ( $\epsilon$ ). Aquí están las dos referencias más claras que he encontrado sobre el tema y que ilustran las dos posibles opciones convencionales. Notas de clase de Sean Carroll sobre geometría y espacio-tiempo cap. 2 y las notas de clase de electrodinámica de Christopher Pope. Encuentro las notas de Pope para dar un poco más de detalle que marcó la diferencia para mí.

El punto es el símbolo de Levi-Civita con los índices más bajos*, $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ se define como un objeto que es antisimétrico en sus índices. es decir $\tilde{\epsilon}_{123}=+1$ mientras $\tilde{\epsilon}_{132}=-1$ . Además, (como se explica mejor en las notas del Papa) el símbolo toma el mismo valor en todos los marcos de coordenadas. Eso es si transformamos de un conjunto de coordenadas $\{x^i\}$ a otro conjunto de coordenadas $\{x^{'i}\}$ hemos transformado $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ se transforma en $\tilde{\epsilon}^{'}_{ijk}$ con la relacion que $\tilde{\epsilon}^{'}_{ijk}=\tilde{\epsilon}_{ijk}$

Entonces es posible probar, usando algunos hechos sobre determinantes, que

{\tilde{ϵ}}_{i j k} = {\tilde{ϵ}}_{i j k}^{^{'}} = | \frac{\partial X^{'}}{\partial X} | \frac{\partial X^{a}}{\partial X^{^{'} i}} \frac{\partial X^{b}}{\partial X^{^{'} j}} \frac{\partial X^{C}}{\partial X^{^{'} k}} {\tilde{ϵ}}_{a b C}

$\tilde{\epsilon}_{ijk}=\tilde{\epsilon}^{'}_{ijk} = \left|\frac{\partial x'}{\partial{x}}\right|\frac{\partial x^a}{\partial x^{'i}}\frac{\partial x^b}{\partial x^{'j}}\frac{\partial x^c}{\partial x^{'k}}\tilde{\epsilon}_{abc}$

Es decir $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ se transforma como un tensor de densidad de peso +1. Resulta $\sqrt{|\text{det}(g_{ij})|}=\sqrt{|\text{det }g|}$ es una densidad de tensor de peso -1 (como se demuestra en las notas de Pope), por lo que al multiplicar estas dos densidades de tensor se obtiene una nueva densidad de tensor de peso 0, es decir, un tensor regular (indicado por la ausencia de la tilde).

ϵ_{i j k} = \sqrt{| det gramo |} {\tilde{ϵ}}_{i j k}

$\epsilon_{ijk} = \sqrt{|\text{det }g|}\tilde{\epsilon}_{ijk}$

Ambos autores están de acuerdo en esto. Y hasta ahora nada de esto habría cambiado al elegir la métrica (-+++) en lugar de la métrica (+---)**. Sin embargo, el siguiente paso es encontrar el objeto de índice superior. Desde $\epsilon_{ijk}$ es un tensor podemos elevar sus índices:

ϵ^{i j k} = {gramo}^{i i^{'}} {gramo}^{j j^{'}} {gramo}^{k k^{'}} ϵ_{i^{'} j^{'} k^{'}} = {gramo}^{i i^{'}} {gramo}^{j j^{'}} {gramo}^{k k^{'}} {\tilde{ϵ}}_{i^{'} j^{'} k^{'}} \sqrt{| det gramo |} = det ({gramo}^{- 1}) \sqrt{| det gramo |} {\tilde{ϵ}}_{i j k} = \frac{firmar (gramo)}{\sqrt{| gramo |}} {\tilde{ϵ}}_{i j k}

$\epsilon^{ijk} = g^{ii'}g^{jj'}g^{kk'}\epsilon_{i'j'k'} = g^{ii'}g^{jj'}g^{kk'}\tilde{\epsilon}_{i'j'k'}\sqrt{|\text{det }g|} \\ =\text{det}(g^{-1}) \sqrt{|\text{det }g|} \tilde{\epsilon}_{ijk} = \frac{\text{sgn}(g)}{\sqrt{|g|}}\tilde{\epsilon}_{ijk}$

En este punto tenemos

ϵ^{i j k} = \frac{firmar (gramo)}{\sqrt{| det gramo |}} {\tilde{ϵ}}_{i j k}

$\epsilon^{ijk} = \frac{\text{sgn}(g)}{\sqrt{|\text{det }g|}}\tilde{\epsilon}_{ijk}$

Aquí es donde la gente hace una elección de convención. Carroll (y muchos otros que he visto), por ejemplo, hace la elección de que $\tilde{\epsilon}^{ijk} = \tilde{\epsilon}_{ijk}$ para que consigamos

ϵ^{i j k} = \frac{firmar (gramo)}{\sqrt{| det gramo |}} {\tilde{ϵ}}^{i j k}

$\epsilon^{ijk} = \frac{\text{sgn}(g)}{\sqrt{|\text{det }g|}}\tilde{\epsilon}^{ijk}$

El Papa toma la convención de que $\tilde{\epsilon}^{ijk} = \text{sgn}(g)\tilde{\epsilon}_{ijk}$ de modo que

ϵ^{i j k} = \frac{1}{\sqrt{| det gramo |}} {\tilde{ϵ}}^{i j k}

$\epsilon^{ijk} = \frac{1}{\sqrt{|\text{det }g|}}\tilde{\epsilon}^{ijk}$

Así que ya hemos hecho al menos dos elecciones de convenciones. La primera es cómo $\epsilon_{ijk}$ se relaciona con $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ y la segunda es como $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ se relaciona con $\tilde{\epsilon}^{ijk}$ . Creo que ahora tenemos otra opción de cómo definir el producto cruz. Creo que lo responsable es tener en cuenta toda la maquinaria hasta este punto y hacer una definición manifiestamente covariante del producto vectorial. Esto se vería como:

(A \times B)^{i} = ϵ^{i}_{j k} A^{j} B^{k} = {gramo}^{i i^{'}} ϵ_{i^{'} j k} A^{j} B^{k} = \pm ϵ_{i j k} A^{j} B^{k} = \pm {\tilde{ϵ}}_{i j k} A^{j} B^{k}

$(A\times B)^i = \epsilon^{i}{}_{jk}A^jB^k=g^{ii'}\epsilon_{i'jk}A^j B^k = \pm \epsilon_{ijk}A^j B^k=\pm\tilde{\epsilon}_{ijk}A^j B^k$

Dónde $\pm$ indica la siguiente elección de convención de firma métrica en su mayoría positiva o en su mayoría negativa. Creo que esto tiene la desventaja de que, dependiendo de si tomas la métrica mayoritariamente positiva o mayoritariamente negativa, obtienes un signo negativo relativo en la definición del producto cruzado, pero creo que esto es de esperarse, ya que hace que la parte espacial deje de ser un sistema de coordenadas de mano derecha a mano izquierda. También tiene la desventaja de que realmente tienes que recordar bastantes lugares para los signos negativos. Tiene la ventaja de que es covariante, de modo que si sigues las reglas, puedes hacer las manipulaciones más fácilmente, supongo.

Por ejemplo, @Solenodon Paradoxus da una fórmula para la "expresión correcta" para el producto cruzado, pero no estoy seguro de por qué es la "expresión correcta". Sigue la convención adecuada de Einstein, pero el símbolo utilizado es el símbolo de Levi-Civita, que no es un tensor, por lo que en realidad no hay una regla que diga que la expresión DEBE seguir la convención de Einstein, lo que genera confusión en cuanto a la motivación detrás de cualquier definición particular cuando hay tantas. opciones

* Creo que esto es una cuestión de convención. Alternativamente, podríamos tomar el símbolo de Levi-Civita con índices superiores como el objeto que es antisimétrico en sus índices.

** pero la historia tal vez sería diferente si hubiéramos elegido el símbolo Levi-Civita indexado superior como el objeto antisimétrico habitual.

edit1: para una notación menos incómoda podríamos definir $(A \times B)^i = \epsilon^{ijk}A_jB_k$ lo que sería equivalente a la definición dada. Para mi problema en el que estoy trabajando, estoy pensando en los componentes contravariantes de los vectores como las cantidades "físicas", por lo que prefiero escribir la expresión en términos de esos.

Profesor Legolasov · Answer 2

Interesante pregunta. La expresión correcta para el caso general sería

C^{i} = {gramo}_{j j^{'}} {gramo}_{k k^{'}} \frac{ε^{i j k}}{\sqrt{| det gramo |}} a^{j^{'}} b^{k^{'}},

$c^i = g_{jj'} g_{kk'} \; \frac{\varepsilon^{ijk}}{\sqrt{\left| \det g \right|}} \; a^{j'} b^{k'},$

o

C^{i} = {gramo}^{i i^{'}} \sqrt{| det gramo |} ε_{i^{'} j k} a^{j} a^{k}

$c^{i} = g^{i i'} \sqrt{\left| \det g \right|} \; \varepsilon_{i' j k} a^{j} a^{k}$

si desea utilizar el símbolo de Levi-Civita con índices más bajos.

dónde $g_{ij}$ es el retroceso de la métrica del espacio-tiempo en el segmento espacial tridimensional (o puede comenzar con el espacio 3d desde el principio), y $\det g$ es el determinante de la matriz tensorial métrica covariante. Se puede demostrar que esta expresión es un tensor, es decir $c^i$ es un verdadero tensor en el sentido más general de esta palabra.

Para la relatividad especial en coordenadas de Minkowski, tienes

{gramo}_{i j} = \pm d_{i j},

$g_{ij} = \pm \delta_{ij},$

donde el $\pm$ representa las dos convenciones posibles (-+++ y +---).

Es fácil ver que en ambos casos terminas con

C^{i} = ε^{i j k} a^{j} b^{k} .

$c^i = \varepsilon^{ijk} a^j b^k.$

2 preguntas 1) Estás usando $\epsilon^{ijk}$ que NO es igual a $\epsilon_{ijk}$ en base a la discusión anterior. ¿Cuál de estos dos es igual a +1 para permutaciones pares de los índices? 2) Es decir, la definición del producto cruzado (usando la notación de Einstein correcta) sería $c^i = -\epsilon^i{}_{jk}a^j b^k$
1) no, estoy usando $\varepsilon^{ijk}$ que no es un tensor y se define como el objeto antisimétrico (símbolo de Levi-Civita). 2) No, la definición viene dada por la primera fórmula en mi respuesta.
De acuerdo. Esto parece ayudar. Pero, ¿y si en lugar de eso hubiéramos tomado $\epsilon_{ijk}$ ser el símbolo de Levi-Civita en lugar de $\epsilon^{ijk}$ . Entonces supongo que tu fórmula sería $c^i = g^{ii'}\epsilon_{ijk} a^j b^k$ en cuyo caso terminas con $c^i = \pm \epsilon_{ijk} a^j b^k$ dependiendo de la métrica que tome. Entonces, ¿cómo sabemos si debemos tomar $\epsilon^{ijk}$ o $\epsilon_{ijk}$ ser el símbolo de Levi-Civita?
@jgerber Realicé una edición para incluir una fórmula para el símbolo de Levi-Civita con índices más bajos (tenga en cuenta que técnicamente no es covariante ya que no es un tensor).
Sé el problema ahora. te has quedado fuera $\text{sgn}(\text{det }g)$ y creo que esto te lleva a obtener un resultado incorrecto en tu línea final. Sus primeras dos líneas pueden interpretarse como correctas si está utilizando la convención de Papas de mi respuesta. En ese caso, la ecuación inferior no tiene signo menos adicional, por lo que tiene 1 signo menos total. Sin embargo, la ecuación superior tiene un signo menos oculto $(\epsilon^{ijk} = \text{sgn}(\text{det }g)\epsilon_{ijk}$ ) resultando en 3 signos menos. Su respuesta final debe ser $c^i = \pm \epsilon_{ijk} a^j b^k$ . En todas partes en este comentario uso el símbolo, no el tensor.
@jgerber Estás siendo demasiado obsesivo con el signo menos. Es solo una parte de la definición. No hay elección correcta, solo lo que haces. Las dos opciones en mi respuesta difieren en un signo, estoy de acuerdo.

Arnaldo Gamal · Answer 3

En el libro de Landau vol.II página 17, los tensores de Levi-Civita se definen para el espacio de Minkowski M $^4$ como en la métrica que quieras. Creo que todo funcionará si usas la definición de producto vectorial ${\vec A}\times {\vec B}$ como $C^i=\epsilon^{0i}_{\;\;jk} A^j B^k$ . Y subir y bajar los índices espaciales cambiará de signo como $A_k=-A^k$ . Así que si $ij$ los índices suben tenemos $\epsilon^{0i}_{\;\;jk}=\epsilon^{0ijk}$ . También en M $^4$ espacio la norma de ${\vec A}$ será $A_kA^k=-{\vec A}^2$ .

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gentil

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