¿Por qué no es (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Question

¿Por qué no es (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Física
notación
convenciones
tensor-métrico
cálculo tensorial
relatividad especial

mikkel rev

Estoy siguiendo notas de conferencias sobre SR. El autor escribe que lo siguiente es equivalente:

\begin{matrix} (1) & Λ^{T} η Λ = η ⟺ η_{m v} {Λ^{m}}_{ρ} {Λ^{v}}_{σ} = η_{ρ σ} . \end{matrix}

$\Lambda^T\eta\Lambda = \eta \iff \eta_{\mu \nu} {\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda^\nu}_\sigma = \eta_{\rho \sigma}. \tag{1}$ Esto me sorprende, porque

\begin{matrix} (2) & {(Λ^{T})^{m}}_{v} = {Λ_{v}}^{m} . \end{matrix}

${(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu.\tag{2}$

Y así esperaba que fuera

\begin{matrix} (3) & Λ^{T} η Λ = η ⟺ η_{m v} {Λ_{ρ}}^{m} {Λ^{v}}_{σ} = η_{ρ σ} . \end{matrix}

$\Lambda^T\eta\Lambda = \eta \iff \eta_{\mu \nu} {\Lambda_\rho}^\mu{\Lambda^\nu}_\sigma = \eta_{\rho \sigma}.\tag{3}$ ¿Por qué está mal?

knzhou

Creo que has puesto un flip extra en alguna parte. Solo piénsalo como matrices:

A B C = D

$ABC = D$ medio

A_{i j} B_{j k} C_{k ℓ} = D_{i ℓ}

$A_{ij} B_{jk} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ . Por lo tanto

A^{T} B C = D

$A^T BC = D$ medio

B_{j k} A_{j i} C_{k ℓ} = D_{i ℓ}

$B_{jk} A_{ji} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ donde usé la conmutatividad de la multiplicación, y reemplacé

A_{i j}

$A_{ij}$ con

A_{j i}

$A_{ji}$ . Esto es exactamente lo mismo que la ecuación (1).

knzhou

La ubicación del índice arriba/abajo es una pista falsa que solo puede agregar confusión; no es un índice 'real' porque

Λ

$\Lambda$ no es un tensor.

mikkel rev

@knzhou Por su primer comentario, creo que confirma que también está desconcertado, ¿correcto? Dar la vuelta a las indecisiones es exactamente lo que propongo, pero eso es lo que no hacen las notas de clase.

Respuestas (1)

¿Por qué no es (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Creo que has puesto un flip extra en alguna parte. Solo piénsalo como matrices: $ABC = D$ medio $A_{ij} B_{jk} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ . Por lo tanto $A^T BC = D$ medio $B_{jk} A_{ji} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ donde usé la conmutatividad de la multiplicación, y reemplacé $A_{ij}$ con $A_{ji}$ . Esto es exactamente lo mismo que la ecuación (1).
La ubicación del índice arriba/abajo es una pista falsa que solo puede agregar confusión; no es un índice 'real' porque $\Lambda$ no es un tensor.
@knzhou Por su primer comentario, creo que confirma que también está desconcertado, ¿correcto? Dar la vuelta a las indecisiones es exactamente lo que propongo, pero eso es lo que no hacen las notas de clase.

qmecanico · Answer 1

Las tres ecuaciones de OP deben leer
$\begin{matrix} (1') & Λ^{T} η Λ = η ⟺ (Λ^{T})_{ρ}^{m} η_{m v} Λ^{v}_{σ} = η_{ρ σ}, \end{matrix}$ $\Lambda^T\eta\Lambda ~=~ \eta \quad\iff\quad (\Lambda^T)_{\rho}{}^{\mu}~\eta_{\mu \nu}~ \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} ~=~ \eta_{\rho \sigma} ,\tag{1'}$ $\begin{matrix} (2') & (Λ^{T})_{v}^{m} := Λ^{m}_{v}, \end{matrix}$ $(\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu} ~:=~\Lambda^{\mu}{}_{\nu} ,\tag{2'}$ $\begin{matrix} (3') & Λ^{T} η Λ = η ⟺ Λ^{m}_{ρ} η_{m v} Λ^{v}_{σ} = η_{ρ σ} . \end{matrix}$ $\Lambda^T\eta\Lambda ~=~ \eta \quad\iff\quad \Lambda^{\mu}{}_{\rho}~\eta_{\mu \nu}~ \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} ~=~ \eta_{\rho \sigma} .\tag{3'}$
Más detalladamente: Deja $V$ ser $n$ -dimensional $\mathbb{R}$ -espacio vectorial con base $(e_{\mu})_{\mu=1, \ldots, n}$ . Dejar $V^{\ast}$ sea el espacio vectorial dual con la base dual $(e^{\ast \nu})_{\nu=1, \ldots, n}$ . Dejar
$Λ = {mi}_{m} Λ^{m}_{v} \otimes {mi}^{* v} \in V \otimes V^{*} ≅ L (V; V)$ $\Lambda~=~e_{\mu}~ \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\otimes e^{\ast \nu}~ \in~V\otimes V^{\ast}~\cong~{\cal L}(V;V)$ ser un mapa lineal de $V$ a $V$ . Llamemos a las posiciones de los índices en $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ para la convención NW-SE, cf. una rosa de los vientos . Dejar $Λ^{T} = {mi}^{* v} (Λ^{T})_{v}^{m} \otimes {mi}_{m} \in V^{*} \otimes V ≅ L (V^{*}; V^{*})$ $\Lambda^T~=~e^{\ast \nu}~ (\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu}\otimes e_{\mu}~\in~V^{\ast}\otimes V~\cong~{\cal L}(V^{\ast};V^{\ast})$ Sea el mapa lineal transpuesto de $V^{\ast}$ a $V^{\ast}$ . Tenga en cuenta que $(\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu}$ está escrito en la convención SW-NE. Dejar $η = {mi}^{* m} η_{m v} ⊙ {mi}^{* v} \in {S y metro}^{2} V^{*} = V^{*} ⊙ V^{*}$ $\eta~=~e^{\ast \mu}~\eta_{\mu\nu}\odot e^{\ast \nu}~\in~{\rm Sym}^2V^{\ast}~=~V^{\ast}\odot V^{\ast}$ ser una métrica (indefinida), es decir, un elemento invertible en el producto tensorial simetrizado . Un mapa (pseudo)ortogonal $\Lambda$ satisface por definición $Λ^{T} η Λ = η .$ $\Lambda^T\eta\Lambda~=~\eta.$ Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

¿No tendría entonces una notación ambigua? ¿No usarías ${\Lambda_\mu}^\nu$ para referirse a ambos $\Lambda^T$ y $\Lambda^{-1}$ ?
@falgenint: Gracias por los comentarios. $\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ por definición no se refiere a $(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ para evitar la ambigüedad. Más bien, usamos la métrica para aumentar y disminuir los índices, por lo que, por definición, $\Lambda_{\mu}{}^{\nu}~:=~\eta_{\mu\rho}~\Lambda^{\rho}{}_{\sigma}~(\eta^{-1})^{\sigma\nu}$ , que resulta ser igual a $((\Lambda^{-1})^T)_{\mu}{}^{\nu}$ si $\Lambda$ es (pseudo)ortogonal.
Lo siento, cometí un error. Quería decir: ¿no usarías ${\Lambda^\mu}_\nu$ para referirse a ambos $\Lambda^T$ y $\Lambda^{-1}$ ? Quiero decir, si (usando (2')) esto es correcto: ${((\Lambda^{-1})^T)_{\mu}}^{\nu}={(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu={\Lambda_\mu}^\nu$ sigue ${((\Lambda^{-1})^T)_\mu}^{\nu}={((\Lambda^{T})^{-1})_\mu}^{\nu}$ y a partir de esto puedes demostrar que $\Lambda \Lambda^T=I$ con $I$ la matriz de identidad. ¿Es esto correcto?
La última ecuación no es correcta. Al eliminar índices de una ecuación tensorial, se debe volver a introducir/devolver el tensor métrico $\eta$ en lugares pertinentes.
Así que supongo que no puedo decir eso $(\Lambda^{-1})^T=(\Lambda^T)^{-1}$ a pesar de ${((\Lambda^{-1})^T)_\mu}^{\nu}={((\Lambda^{T})^{-1})_\mu}^{\nu}$ ?
Sí tu puedes. Sus dos ecuaciones en su último comentario son correctas.
Entonces si (desde arriba) $(\Lambda^{-1})^T=(\Lambda^T)^{-1}=\Lambda$ , puedes aplicar $\Lambda^T$ en ambos lados del último signo igual, y tendrías $(\Lambda^T)^{-1} \Lambda^T = \Lambda \Lambda^T$ , pero la primera parte es la matriz de identidad... ¿no significaría eso $\Lambda \Lambda^T = I$ ?
Entonces, $(\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu}$ tiene que estar escrito en la convención SW-NE para ser consistente con la forma en que se define el mapa lineal transpuesto?

¿Por qué no es (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

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