Notación de índice Matriz de transformación de Lorentz

Una transformación de Lorentz entre dos sistemas de coordenadas diferentes viene dada por:

( X ′ ) m = Λ m v   X v

dónde Λ es la matriz de transformación de Lorentz. Estoy un poco confundido por el orden de los índices usando esta notación, es por eso que escribimos Λ m v en lugar de Λ v m o Λ v m . ¿Existe una convención explícita de qué índice viene primero en el orden de izquierda a derecha? Es Λ v m diferente de Λ m v y si es así, cómo se relacionan entre sí.

¿Qué pasa con el orden de los índices de izquierda a derecha del tensor general? ¿El orden aquí solo especifica qué posición en la "matriz N-dimensional" estamos considerando, es decir, el primer índice da la fila, el segundo la columna, el tercero la "profundidad", etc.?

Cualquier ayuda para aclarar estos puntos será muy apreciada.

Respuestas (1)

Es posible que haya notado que esta es una ecuación matricial, que podría escribirse de manera más sucinta como X ′ = Λ X . Sin embargo, cuando escribe tales ecuaciones con índices explícitos y suma índices repetidos, necesita uno arriba y otro abajo, o de manera equivalente, los conecta con un tensor métrico, a saber. X ′ m = Λ m ρ η ρ v X v = Λ m ρ X ρ .

Antes de estudiar la relatividad, está familiarizado con un cálculo análogo para el cual la métrica es euclidiana, por lo que el tensor métrico es solo la matriz de identidad. Pero fuera de ese contexto, debe pensar con mucho cuidado sobre qué índices están arriba.

También debe pensar con mucho cuidado acerca de cómo denotar la subida/bajada del índice en matrices no simétricas. Empezando desde Λ α β , si subo un índice pero no el otro puedo obtener Λ β γ = η γ α Λ α β o Λ β γ = η γ α Λ β α . ¡No confundas los dos!

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