Topológicamente, ¿una singularidad de curvatura es solo un agujero?

O, en cambio, ¿la estructura singular no es parte de la variedad, como se sugiere en la respuesta de @ benrg a esta pregunta, y por lo tanto no es un agujero topológico?

Estas no son dos interpretaciones diferentes. Un agujero topológico es precisamente algo que no forma parte de la variedad.

Me pregunto si, desde mi punto de vista ingenuo, tal vez una perspectiva topológica sea más adecuada para describir singularidades de curvatura.

Una vez más, esto no es un "o".

El teorema de Hawking (SW Hawking, CMP 25, 152-166 (1972)) establece que las superficies del horizonte de sucesos en (3+1)D espaciostiempos de agujeros negros estacionarios asintóticamente planos que obedecen a la condición de energía dominante son topológicamente 2 esferas.

Además, si considera una integral euclidiana de Gauss-Bonnet escalar de un BH ($r$desde el horizonte hasta el infinito y el tiempo euclidiano desde$0$a$1/T$), obtendrá las características de Euler$\chi =2$, que es de hecho una esfera.

"Cuando Schwarzschild se dispuso a determinar el campo gravitatorio de una fuente puntual situada en el origen de$R^{3}$. Por lo tanto, su solución debe ser diferenciable en R × ($R^{3}$- {(0, 0, 0)}) y singular sobre R × {(0, 0, 0)} sin transgredir la noción de punto matemático o más precisamente, la noción de línea de universo de un punto, pero él cambia a la variedad de borde R × [0, +∞[×S² que tiene singularidades en el borde R × {0} × S² pero la métrica espacial α²dω², inducida en el borde, restaura claramente la topología de S². Por lo tanto, la métrica espacial restaura la topología de [0, +∞[×S². El espacio del observador se identifica así con un semicilindro tridimensional real, es decir, con un espacio diferente del espacio$R^{3}$que aparece en la formulación del problema. Se suponía que la masa puntual estaba colocada en el origen de$R^{3}$que sería por hipótesis un punto singular para la métrica. Ahora no tenemos un punto singular, sino una infinidad de puntos singulares que constituyen la arista {0} × S² que tiene la potencia del continuo. El contenido mismo del problema se modifica profundamente. Sin embargo, se sigue hablando del "origen r = 0" como si fuera un punto.

resumen o extracto de un documento extenso en francés.

Por lo que entiendo, el problema radica en el uso de cambio de variables (explícito o implícito) sin tener en cuenta las condiciones matemáticas que les dan un significado lógico.

La mejor manera de responder a esta pregunta es estudiar la solución interior de Schwarzschild. Lo que sucede como el parámetro de compacidad$\alpha=r_s/R$alcanza valor$8/9$? Los componentes métricos se convierten en$g_{00}=0$y$g_{rr}=1$. Densidad de energia$\varepsilon$permanece finito y la presión diverge como$p~\sim r^{-2}$. Es el "nacimiento" de la singularidad central. Sin embargo, estas palabras no tienen sentido físico. Lo que sí tenemos seguro es el horizonte de sucesos inicial, definido claramente por los puntos del espaciotiempo donde cesa el tiempo, es decir$g_{00}=0$. También es claro que la curvatura es invariante$R$, debido a la divergencia de la presión tiende al infinito. Pero en el espacio-tiempo esféricamente simétrico, la curvatura es una propiedad intrínseca de una esfera bidimensional y no de un punto adimensional. Así, se debe interpretar$r=0$como 2 esferas con área de superficie cero.